Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17420 / 11292
↖ ↑ ↗
← N 75.458589°
W 84.309082°		 ← 153.36 m → N 75.458589°
W 84.303589°		 →
↑
153.35 m
↓
↑
153.35 m
↓
N 75.457210°
W 84.309082°		 ← 153.37 m →
23 518 m²		 N 75.457210°
W 84.303589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17420 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265815734863281 y=0.172309875488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265815734863281 × 216)
    floor (0.265815734863281 × 65536)
    floor (17420.5)     		tx = 17420
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172309875488281 × 216)
    floor (0.172309875488281 × 65536)
    floor (11292.5)     		ty = 11292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17420 / 11292 ti = "16/17420/11292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17420/11292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17420 ÷ 216
    17420 ÷ 65536     		x = 0.26580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11292 ÷ 216
    11292 ÷ 65536     		y = 0.17230224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26580810546875 × 2 - 1) × π
    -0.4683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47147107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17230224609375 × 2 - 1) × π
    0.6553955078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.05898571248065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47147107} λ = -1.47147107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05898571248065))-π/2
    2×atan(7.83801577558365)-π/2
    2×1.44389857897674-π/2
    2.88779715795349-1.57079632675     		φ = 1.31700083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47147107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.309082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31700083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.458589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17420 KachelY 11292 -1.47147107 1.31700083 -84.309082 75.458589
    Oben rechts KachelX + 1 17421 KachelY 11292 -1.47137520 1.31700083 -84.303589 75.458589
    Unten links KachelX 17420 KachelY + 1 11293 -1.47147107 1.31697676 -84.309082 75.457210
    Unten rechts KachelX + 1 17421 KachelY + 1 11293 -1.47137520 1.31697676 -84.303589 75.457210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31700083-1.31697676) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dl = 153.349970000272m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31700083-1.31697676) × R
    2.40700000000427e-05 × 6371000     		dr = 153.349970000272m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47147107--1.47137520) × cos(1.31700083) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251079672392771 × 6371000     		do = 153.356393193108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47147107--1.47137520) × cos(1.31697676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.251102971271863 × 6371000     		du = 153.370623863512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31700083)-sin(1.31697676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.251079672392771-0.251102971271863)×R²
    abs(-1.47137520--1.47147107)×2.32988790915822e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.32988790915822e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.32988790915822e-05×40589641000000     		ar = 23518.2894332931m²