Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1742 / 1478
↖ ↑ ↗
← N 74.706450°
W103.447266°		 ← 1 288.88 m → N 74.706450°
W103.403320°		 →
↑
1 289.36 m
↓
↑
1 289.36 m
↓
N 74.694854°
W103.447266°		 ← 1 289.84 m →
1 662 453 m²		 N 74.694854°
W103.403320°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21270751953125 y=0.18048095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21270751953125 × 213)
    floor (0.21270751953125 × 8192)
    floor (1742.5)     		tx = 1742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.18048095703125 × 213)
    floor (0.18048095703125 × 8192)
    floor (1478.5)     		ty = 1478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1742 / 1478 ti = "13/1742/1478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1742/1478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1742 ÷ 213
    1742 ÷ 8192     		x = 0.212646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1478 ÷ 213
    1478 ÷ 8192     		y = 0.180419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212646484375 × 2 - 1) × π
    -0.57470703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.80549539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.180419921875 × 2 - 1) × π
    0.63916015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.00798085128491
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80549539} λ = -1.80549539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.00798085128491))-π/2
    2×atan(7.44826300328144)-π/2
    2×1.43733492485874-π/2
    2.87466984971747-1.57079632675     		φ = 1.30387352
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80549539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.447266°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.30387352 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.706450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1742 KachelY 1478 -1.80549539 1.30387352 -103.447266 74.706450
    Oben rechts KachelX + 1 1743 KachelY 1478 -1.80472840 1.30387352 -103.403320 74.706450
    Unten links KachelX 1742 KachelY + 1 1479 -1.80549539 1.30367114 -103.447266 74.694854
    Unten rechts KachelX + 1 1743 KachelY + 1 1479 -1.80472840 1.30367114 -103.403320 74.694854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.30387352-1.30367114) × R
    0.000202379999999946 × 6371000     		dl = 1289.36297999966m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.30387352-1.30367114) × R
    0.000202379999999946 × 6371000     		dr = 1289.36297999966m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80549539--1.80472840) × cos(1.30387352) × R
    0.000766990000000023 × 0.263764469260967 × 6371000     		do = 1288.88330918416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80549539--1.80472840) × cos(1.30367114) × R
    0.000766990000000023 × 0.263959676998624 × 6371000     		du = 1289.83719048438m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.30387352)-sin(1.30367114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.263764469260967-0.263959676998624)×R²
    abs(-1.80472840--1.80549539)×0.000195207737657355×R²
    0.000766990000000023×0.000195207737657355×6371000²
    0.000766990000000023×0.000195207737657355×40589641000000     		ar = 1662453.37969609m²