Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1742 / 1373
↖ ↑ ↗
← N 50.903033°
W 26.894531°		 ← 6 163.18 m → N 50.903033°
W 26.806641°		 →
↑
6 166.87 m
↓
↑
6 166.87 m
↓
N 50.847573°
W 26.894531°		 ← 6 170.52 m →
38 030 210 m²		 N 50.847573°
W 26.806641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1742 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4254150390625 y=0.3353271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4254150390625 × 212)
    floor (0.4254150390625 × 4096)
    floor (1742.5)     		tx = 1742
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3353271484375 × 212)
    floor (0.3353271484375 × 4096)
    floor (1373.5)     		ty = 1373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1742 / 1373 ti = "12/1742/1373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1742/1373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1742 ÷ 212
    1742 ÷ 4096     		x = 0.42529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1373 ÷ 212
    1373 ÷ 4096     		y = 0.335205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.46939812
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.335205078125 × 2 - 1) × π
    0.32958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.03543703179321
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.46939812} λ = -0.46939812}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03543703179321))-π/2
    2×atan(2.8163367954276)-π/2
    2×1.22961092446496-π/2
    2.45922184892992-1.57079632675     		φ = 0.88842552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.46939812} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.894531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.88842552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.903033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1742 KachelY 1373 -0.46939812 0.88842552 -26.894531 50.903033
    Oben rechts KachelX + 1 1743 KachelY 1373 -0.46786414 0.88842552 -26.806641 50.903033
    Unten links KachelX 1742 KachelY + 1 1374 -0.46939812 0.88745756 -26.894531 50.847573
    Unten rechts KachelX + 1 1743 KachelY + 1 1374 -0.46786414 0.88745756 -26.806641 50.847573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.88842552-0.88745756) × R
    0.00096795999999999 × 6371000     		dl = 6166.87315999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.88842552-0.88745756) × R
    0.00096795999999999 × 6371000     		dr = 6166.87315999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.46939812--0.46786414) × cos(0.88842552) × R
    0.00153397999999999 × 0.630634729841203 × 6371000     		do = 6163.18475161997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.46939812--0.46786414) × cos(0.88745756) × R
    0.00153397999999999 × 0.6313856484801 × 6371000     		du = 6170.52346940057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.88842552)-sin(0.88745756))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.630634729841203-0.6313856484801)×R²
    abs(-0.46786414--0.46939812)×0.000750918638896425×R²
    0.00153397999999999×0.000750918638896425×6371000²
    0.00153397999999999×0.000750918638896425×40589641000000     		ar = 38030210.0650933m²