Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17418 / 5130
↖ ↑ ↗
← N 81.915465°
W 84.320068°		 ← 85.91 m → N 81.915465°
W 84.314575°		 →
↑
85.94 m
↓
↑
85.94 m
↓
N 81.914692°
W 84.320068°		 ← 85.91 m →
7 384 m²		 N 81.914692°
W 84.314575°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17418 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5130 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265785217285156 y=0.0782852172851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265785217285156 × 216)
    floor (0.265785217285156 × 65536)
    floor (17418.5)     		tx = 17418
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0782852172851562 × 216)
    floor (0.0782852172851562 × 65536)
    floor (5130.5)     		ty = 5130
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17418 / 5130 ti = "16/17418/5130"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17418/5130.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17418 ÷ 216
    17418 ÷ 65536     		x = 0.265777587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5130 ÷ 216
    5130 ÷ 65536     		y = 0.078277587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.46844482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47166282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078277587890625 × 2 - 1) × π
    0.84344482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.64976006339822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47166282} λ = -1.47166282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64976006339822))-π/2
    2×atan(14.1506429808302)-π/2
    2×1.50024544735118-π/2
    3.00049089470237-1.57079632675     		φ = 1.42969457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47166282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.320068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42969457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.915465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17418 KachelY 5130 -1.47166282 1.42969457 -84.320068 81.915465
    Oben rechts KachelX + 1 17419 KachelY 5130 -1.47156694 1.42969457 -84.314575 81.915465
    Unten links KachelX 17418 KachelY + 1 5131 -1.47166282 1.42968108 -84.320068 81.914692
    Unten rechts KachelX + 1 17419 KachelY + 1 5131 -1.47156694 1.42968108 -84.314575 81.914692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42969457-1.42968108) × R
    1.34900000001714e-05 × 6371000     		dl = 85.9447900010921m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42969457-1.42968108) × R
    1.34900000001714e-05 × 6371000     		dr = 85.9447900010921m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47166282--1.47156694) × cos(1.42969457) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.140634006932307 × 6371000     		do = 85.9064912728738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47166282--1.47156694) × cos(1.42968108) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.140647362851205 × 6371000     		du = 85.9146497556994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42969457)-sin(1.42968108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140634006932307-0.140647362851205)×R²
    abs(-1.47156694--1.47166282)×1.33559188980337e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.33559188980337e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.33559188980337e-05×40589641000000     		ar = 7383.5659419706m²