Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17416 / 11320
↖ ↑ ↗
← N 75.419921°
W 84.331055°		 ← 153.77 m → N 75.419921°
W 84.325561°		 →
↑
153.80 m
↓
↑
153.80 m
↓
N 75.418538°
W 84.331055°		 ← 153.79 m →
23 651 m²		 N 75.418538°
W 84.325561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265754699707031 y=0.172737121582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265754699707031 × 216)
    floor (0.265754699707031 × 65536)
    floor (17416.5)     		tx = 17416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.172737121582031 × 216)
    floor (0.172737121582031 × 65536)
    floor (11320.5)     		ty = 11320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17416 / 11320 ti = "16/17416/11320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17416/11320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17416 ÷ 216
    17416 ÷ 65536     		x = 0.2657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11320 ÷ 216
    11320 ÷ 65536     		y = 0.1727294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47185457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1727294921875 × 2 - 1) × π
    0.654541015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.05630124610193
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47185457} λ = -1.47185457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.05630124610193))-π/2
    2×atan(7.81700310228443)-π/2
    2×1.44356113330244-π/2
    2.88712226660487-1.57079632675     		φ = 1.31632594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47185457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31632594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.419921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17416 KachelY 11320 -1.47185457 1.31632594 -84.331055 75.419921
    Oben rechts KachelX + 1 17417 KachelY 11320 -1.47175869 1.31632594 -84.325561 75.419921
    Unten links KachelX 17416 KachelY + 1 11321 -1.47185457 1.31630180 -84.331055 75.418538
    Unten rechts KachelX + 1 17417 KachelY + 1 11321 -1.47175869 1.31630180 -84.325561 75.418538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31632594-1.31630180) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dl = 153.795940000391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31632594-1.31630180) × R
    2.41400000000613e-05 × 6371000     		dr = 153.795940000391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47185457--1.47175869) × cos(1.31632594) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.25173288602267 × 6371000     		do = 153.771405991875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47185457--1.47175869) × cos(1.31630180) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.251756248562925 × 6371000     		du = 153.785677034166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31632594)-sin(1.31630180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.25173288602267-0.251756248562925)×R²
    abs(-1.47175869--1.47185457)×2.33625402550897e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.33625402550897e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.33625402550897e-05×40589641000000     		ar = 23650.5153452233m²