Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17416 / 1016
↖ ↑ ↗
← N 84.545540°
W 84.331055°		 ← 58.06 m → N 84.545540°
W 84.325561°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 84.545017°
W 84.331055°		 ← 58.07 m →
3 374 m²		 N 84.545017°
W 84.325561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265754699707031 y=0.0155105590820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265754699707031 × 216)
    floor (0.265754699707031 × 65536)
    floor (17416.5)     		tx = 17416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0155105590820312 × 216)
    floor (0.0155105590820312 × 65536)
    floor (1016.5)     		ty = 1016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17416 / 1016 ti = "16/17416/1016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17416/1016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17416 ÷ 216
    17416 ÷ 65536     		x = 0.2657470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1016 ÷ 216
    1016 ÷ 65536     		y = 0.0155029296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.468505859375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47185457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0155029296875 × 2 - 1) × π
    0.968994140625 × 3.1415926535     		Φ = 3.04418487347205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47185457} λ = -1.47185457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04418487347205))-π/2
    2×atan(20.9929123470575)-π/2
    2×1.52319718270237-π/2
    3.04639436540475-1.57079632675     		φ = 1.47559804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47185457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.331055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47559804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.545540°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17416 KachelY 1016 -1.47185457 1.47559804 -84.331055 84.545540
    Oben rechts KachelX + 1 17417 KachelY 1016 -1.47175869 1.47559804 -84.325561 84.545540
    Unten links KachelX 17416 KachelY + 1 1017 -1.47185457 1.47558892 -84.331055 84.545017
    Unten rechts KachelX + 1 17417 KachelY + 1 1017 -1.47175869 1.47558892 -84.325561 84.545017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47559804-1.47558892) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dl = 58.1035199991244m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47559804-1.47558892) × R
    9.11999999986257e-06 × 6371000     		dr = 58.1035199991244m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47185457--1.47175869) × cos(1.47559804) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.0950545594669564 × 6371000     		do = 58.0642183312347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47185457--1.47175869) × cos(1.47558892) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.0950636381682292 × 6371000     		du = 58.0697640693437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47559804)-sin(1.47558892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0950545594669564-0.0950636381682292)×R²
    abs(-1.47175869--1.47185457)×9.07870127274391e-06×R²
    9.58800000001592e-05×9.07870127274391e-06×6371000²
    9.58800000001592e-05×9.07870127274391e-06×40589641000000     		ar = 3373.89658432172m²