Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17415 / 985
↖ ↑ ↗
← N 84.561703°
W 84.336548°		 ← 57.89 m → N 84.561703°
W 84.331055°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 84.561182°
W 84.336548°		 ← 57.89 m →
3 353 m²		 N 84.561182°
W 84.331055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265739440917969 y=0.0150375366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265739440917969 × 216)
    floor (0.265739440917969 × 65536)
    floor (17415.5)     		tx = 17415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0150375366210938 × 216)
    floor (0.0150375366210938 × 65536)
    floor (985.5)     		ty = 985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17415 / 985 ti = "16/17415/985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17415/985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17415 ÷ 216
    17415 ÷ 65536     		x = 0.265731811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 985 ÷ 216
    985 ÷ 65536     		y = 0.0150299072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265731811523438 × 2 - 1) × π
    -0.468536376953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47195044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0150299072265625 × 2 - 1) × π
    0.969940185546875 × 3.1415926535     		Φ = 3.04715696124849
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47195044} λ = -1.47195044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04715696124849))-π/2
    2×atan(21.0553979355669)-π/2
    2×1.5233382291946-π/2
    3.04667645838919-1.57079632675     		φ = 1.47588013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47195044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.336548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47588013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.561703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17415 KachelY 985 -1.47195044 1.47588013 -84.336548 84.561703
    Oben rechts KachelX + 1 17416 KachelY 985 -1.47185457 1.47588013 -84.331055 84.561703
    Unten links KachelX 17415 KachelY + 1 986 -1.47195044 1.47587104 -84.336548 84.561182
    Unten rechts KachelX + 1 17416 KachelY + 1 986 -1.47185457 1.47587104 -84.331055 84.561182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47588013-1.47587104) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47588013-1.47587104) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47195044--1.47185457) × cos(1.47588013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.094773742974101 × 6371000     		do = 57.8866431257031m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47195044--1.47185457) × cos(1.47587104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.0947827920546283 × 6371000     		du = 57.8921701934188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47588013)-sin(1.47587104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.094773742974101-0.0947827920546283)×R²
    abs(-1.47185457--1.47195044)×9.0490805272625e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.0490805272625e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.0490805272625e-06×40589641000000     		ar = 3352.51389562389m²