Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17414 / 5134
↖ ↑ ↗
← N 81.912374°
W 84.342041°		 ← 85.93 m → N 81.912374°
W 84.336548°		 →
↑
85.94 m
↓
↑
85.94 m
↓
N 81.911601°
W 84.342041°		 ← 85.94 m →
7 386 m²		 N 81.911601°
W 84.336548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265724182128906 y=0.0783462524414062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265724182128906 × 216)
    floor (0.265724182128906 × 65536)
    floor (17414.5)     		tx = 17414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0783462524414062 × 216)
    floor (0.0783462524414062 × 65536)
    floor (5134.5)     		ty = 5134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17414 / 5134 ti = "16/17414/5134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17414/5134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17414 ÷ 216
    17414 ÷ 65536     		x = 0.265716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5134 ÷ 216
    5134 ÷ 65536     		y = 0.078338623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47204631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.078338623046875 × 2 - 1) × π
    0.84332275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.64937656820126
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47204631} λ = -1.47204631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.64937656820126))-π/2
    2×atan(14.1452173176376)-π/2
    2×1.50021847599774-π/2
    3.00043695199547-1.57079632675     		φ = 1.42964063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47204631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42964063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.912374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17414 KachelY 5134 -1.47204631 1.42964063 -84.342041 81.912374
    Oben rechts KachelX + 1 17415 KachelY 5134 -1.47195044 1.42964063 -84.336548 81.912374
    Unten links KachelX 17414 KachelY + 1 5135 -1.47204631 1.42962714 -84.342041 81.911601
    Unten rechts KachelX + 1 17415 KachelY + 1 5135 -1.47195044 1.42962714 -84.336548 81.911601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42964063-1.42962714) × R
    1.34899999999494e-05 × 6371000     		dl = 85.9447899996775m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42964063-1.42962714) × R
    1.34899999999494e-05 × 6371000     		dr = 85.9447899996775m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47204631--1.47195044) × cos(1.42964063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.140687410653238 × 6371000     		do = 85.9301498199634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47204631--1.47195044) × cos(1.42962714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.140700766469779 × 6371000     		du = 85.9383073893651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42964063)-sin(1.42962714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140687410653238-0.140700766469779)×R²
    abs(-1.47195044--1.47204631)×1.33558165411052e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.33558165411052e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.33558165411052e-05×40589641000000     		ar = 7385.59923158016m²