Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17414 / 5133
↖ ↑ ↗
← N 81.913147°
W 84.342041°		 ← 85.92 m → N 81.913147°
W 84.336548°		 →
↑
85.88 m
↓
↑
85.88 m
↓
N 81.912374°
W 84.342041°		 ← 85.93 m →
7 379 m²		 N 81.912374°
W 84.336548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265724182128906 y=0.0783309936523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265724182128906 × 216)
    floor (0.265724182128906 × 65536)
    floor (17414.5)     		tx = 17414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0783309936523438 × 216)
    floor (0.0783309936523438 × 65536)
    floor (5133.5)     		ty = 5133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17414 / 5133 ti = "16/17414/5133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17414/5133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17414 ÷ 216
    17414 ÷ 65536     		x = 0.265716552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5133 ÷ 216
    5133 ÷ 65536     		y = 0.0783233642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265716552734375 × 2 - 1) × π
    -0.46856689453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47204631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0783233642578125 × 2 - 1) × π
    0.843353271484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.6494724420005
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47204631} λ = -1.47204631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.6494724420005))-π/2
    2×atan(14.1465735383749)-π/2
    2×1.50022521979618-π/2
    3.00045043959236-1.57079632675     		φ = 1.42965411
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47204631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.342041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42965411 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.913147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17414 KachelY 5133 -1.47204631 1.42965411 -84.342041 81.913147
    Oben rechts KachelX + 1 17415 KachelY 5133 -1.47195044 1.42965411 -84.336548 81.913147
    Unten links KachelX 17414 KachelY + 1 5134 -1.47204631 1.42964063 -84.342041 81.912374
    Unten rechts KachelX + 1 17415 KachelY + 1 5134 -1.47195044 1.42964063 -84.336548 81.912374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42965411-1.42964063) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dl = 85.8810800000647m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42965411-1.42964063) × R
    1.34800000000102e-05 × 6371000     		dr = 85.8810800000647m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47204631--1.47195044) × cos(1.42965411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.140674064711654 × 6371000     		do = 85.9219982820649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47204631--1.47195044) × cos(1.42964063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.140687410653238 × 6371000     		du = 85.9301498199634m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42965411)-sin(1.42964063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.140674064711654-0.140687410653238)×R²
    abs(-1.47195044--1.47204631)×1.33459415838366e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.33459415838366e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.33459415838366e-05×40589641000000     		ar = 7379.42403965274m²