Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1741 / 489
↖ ↑ ↗
← N 79.544609°
W 26.982422°		 ← 1 773.50 m → N 79.544609°
W 26.894531°		 →
↑
1 774.90 m
↓
↑
1 774.90 m
↓
N 79.528647°
W 26.982422°		 ← 1 776.18 m →
3 150 161 m²		 N 79.528647°
W 26.894531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4251708984375 y=0.1195068359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4251708984375 × 212)
    floor (0.4251708984375 × 4096)
    floor (1741.5)     		tx = 1741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1195068359375 × 212)
    floor (0.1195068359375 × 4096)
    floor (489.5)     		ty = 489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1741 / 489 ti = "12/1741/489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1741/489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1741 ÷ 212
    1741 ÷ 4096     		x = 0.425048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 489 ÷ 212
    489 ÷ 4096     		y = 0.119384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.425048828125 × 2 - 1) × π
    -0.14990234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.47093210
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119384765625 × 2 - 1) × π
    0.76123046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39147604824536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47093210} λ = -0.47093210}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39147604824536))-π/2
    2×atan(10.9296146811941)-π/2
    2×1.47955582611703-π/2
    2.95911165223407-1.57079632675     		φ = 1.38831533
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47093210} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.982422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38831533 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.544609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1741 KachelY 489 -0.47093210 1.38831533 -26.982422 79.544609
    Oben rechts KachelX + 1 1742 KachelY 489 -0.46939812 1.38831533 -26.894531 79.544609
    Unten links KachelX 1741 KachelY + 1 490 -0.47093210 1.38803674 -26.982422 79.528647
    Unten rechts KachelX + 1 1742 KachelY + 1 490 -0.46939812 1.38803674 -26.894531 79.528647
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38831533-1.38803674) × R
    0.000278589999999967 × 6371000     		dl = 1774.89688999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38831533-1.38803674) × R
    0.000278589999999967 × 6371000     		dr = 1774.89688999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47093210--0.46939812) × cos(1.38831533) × R
    0.00153398000000005 × 0.18146993297608 × 6371000     		do = 1773.50321964879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47093210--0.46939812) × cos(1.38803674) × R
    0.00153398000000005 × 0.181743890359503 × 6371000     		du = 1776.18060148047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38831533)-sin(1.38803674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18146993297608-0.181743890359503)×R²
    abs(-0.46939812--0.47093210)×0.000273957383422563×R²
    0.00153398000000005×0.000273957383422563×6371000²
    0.00153398000000005×0.000273957383422563×40589641000000     		ar = 3150161.40768279m²