Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17409 / 1024
↖ ↑ ↗
← N 84.541361°
W 84.369507°		 ← 58.10 m → N 84.541361°
W 84.364014°		 →
↑
58.10 m
↓
↑
58.10 m
↓
N 84.540838°
W 84.369507°		 ← 58.11 m →
3 376 m²		 N 84.540838°
W 84.364014°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17409 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1024 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265647888183594 y=0.0156326293945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265647888183594 × 216)
    floor (0.265647888183594 × 65536)
    floor (17409.5)     		tx = 17409
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0156326293945312 × 216)
    floor (0.0156326293945312 × 65536)
    floor (1024.5)     		ty = 1024
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17409 / 1024 ti = "16/17409/1024"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17409/1024.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17409 ÷ 216
    17409 ÷ 65536     		x = 0.265640258789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1024 ÷ 216
    1024 ÷ 65536     		y = 0.015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265640258789062 × 2 - 1) × π
    -0.468719482421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47252568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015625 × 2 - 1) × π
    0.96875 × 3.1415926535     		Φ = 3.04341788307813
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47252568} λ = -1.47252568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04341788307813))-π/2
    2×atan(20.9768171581636)-π/2
    2×1.52316071581509-π/2
    3.04632143163018-1.57079632675     		φ = 1.47552510
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47252568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.369507°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47552510 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.541361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17409 KachelY 1024 -1.47252568 1.47552510 -84.369507 84.541361
    Oben rechts KachelX + 1 17410 KachelY 1024 -1.47242981 1.47552510 -84.364014 84.541361
    Unten links KachelX 17409 KachelY + 1 1025 -1.47252568 1.47551598 -84.369507 84.540838
    Unten rechts KachelX + 1 17410 KachelY + 1 1025 -1.47242981 1.47551598 -84.364014 84.540838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47552510-1.47551598) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dl = 58.1035200005391m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47552510-1.47551598) × R
    9.12000000008462e-06 × 6371000     		dr = 58.1035200005391m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47252568--1.47242981) × cos(1.47552510) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.0951271689464025 × 6371000     		do = 58.1025113871852m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47252568--1.47242981) × cos(1.47551598) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.0951362475844168 × 6371000     		du = 58.1080565082525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47552510)-sin(1.47551598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0951271689464025-0.0951362475844168)×R²
    abs(-1.47242981--1.47252568)×9.07863801428987e-06×R²
    9.58699999999979e-05×9.07863801428987e-06×6371000²
    9.58699999999979e-05×9.07863801428987e-06×40589641000000     		ar = 3376.12152825195m²