Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1740 / 462
↖ ↑ ↗
← N 79.966590°
W 27.070312°		 ← 1 702.67 m → N 79.966590°
W 26.982422°		 →
↑
1 703.99 m
↓
↑
1 703.99 m
↓
N 79.951265°
W 27.070312°		 ← 1 705.25 m →
2 903 527 m²		 N 79.951265°
W 26.982422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 462 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4249267578125 y=0.1129150390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4249267578125 × 212)
    floor (0.4249267578125 × 4096)
    floor (1740.5)     		tx = 1740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1129150390625 × 212)
    floor (0.1129150390625 × 4096)
    floor (462.5)     		ty = 462
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1740 / 462 ti = "12/1740/462"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1740/462.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1740 ÷ 212
    1740 ÷ 4096     		x = 0.4248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 462 ÷ 212
    462 ÷ 4096     		y = 0.11279296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4248046875 × 2 - 1) × π
    -0.150390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.47246608
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11279296875 × 2 - 1) × π
    0.7744140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.43289352951709
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47246608} λ = -0.47246608}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43289352951709))-π/2
    2×atan(11.3917969376722)-π/2
    2×1.48323830331014-π/2
    2.96647660662028-1.57079632675     		φ = 1.39568028
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47246608} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.070312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39568028 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.966590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1740 KachelY 462 -0.47246608 1.39568028 -27.070312 79.966590
    Oben rechts KachelX + 1 1741 KachelY 462 -0.47093210 1.39568028 -26.982422 79.966590
    Unten links KachelX 1740 KachelY + 1 463 -0.47246608 1.39541282 -27.070312 79.951265
    Unten rechts KachelX + 1 1741 KachelY + 1 463 -0.47093210 1.39541282 -26.982422 79.951265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39568028-1.39541282) × R
    0.000267460000000108 × 6371000     		dl = 1703.98766000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39568028-1.39541282) × R
    0.000267460000000108 × 6371000     		dr = 1703.98766000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47246608--0.47093210) × cos(1.39568028) × R
    0.00153397999999999 × 0.174222410779684 × 6371000     		do = 1702.67328248509m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47246608--0.47093210) × cos(1.39541282) × R
    0.00153397999999999 × 0.174485774099432 × 6371000     		du = 1705.24712867465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39568028)-sin(1.39541282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174222410779684-0.174485774099432)×R²
    abs(-0.47093210--0.47246608)×0.000263363319748328×R²
    0.00153397999999999×0.000263363319748328×6371000²
    0.00153397999999999×0.000263363319748328×40589641000000     		ar = 2903527.18075161m²