Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 174 / 373
↖ ↑ ↗
← S 63.233628°
W 57.656250°		 ← 35.210 km → S 63.233628°
W 56.953125°		 →
↑
35.018 km
↓
↑
35.018 km
↓
S 63.548552°
W 57.656250°		 ← 34.826 km →
1 226.27 km²		 S 63.548552°
W 56.953125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 174 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3408203125 y=0.7294921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3408203125 × 29)
    floor (0.3408203125 × 512)
    floor (174.5)     		tx = 174
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7294921875 × 29)
    floor (0.7294921875 × 512)
    floor (373.5)     		ty = 373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 174 / 373 ti = "9/174/373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/174/373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 174 ÷ 29
    174 ÷ 512     		x = 0.33984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 373 ÷ 29
    373 ÷ 512     		y = 0.728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.33984375 × 2 - 1) × π
    -0.3203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.00629140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728515625 × 2 - 1) × π
    -0.45703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43580601741992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.00629140} λ = -1.00629140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43580601741992))-π/2
    2×atan(0.237923516210063)-π/2
    2×0.233580665244477-π/2
    0.467161330488953-1.57079632675     		φ = -1.10363500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.00629140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -57.656250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10363500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.233628°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 174 KachelY 373 -1.00629140 -1.10363500 -57.656250 -63.233628
    Oben rechts KachelX + 1 175 KachelY 373 -0.99401955 -1.10363500 -56.953125 -63.233628
    Unten links KachelX 174 KachelY + 1 374 -1.00629140 -1.10913147 -57.656250 -63.548552
    Unten rechts KachelX + 1 175 KachelY + 1 374 -0.99401955 -1.10913147 -56.953125 -63.548552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10363500--1.10913147) × R
    0.00549646999999998 × 6371000     		dl = 35018.0103699998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10363500--1.10913147) × R
    0.00549646999999998 × 6371000     		dr = 35018.0103699998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.00629140--0.99401955) × cos(-1.10363500) × R
    0.0122718500000001 × 0.450353593075369 × 6371000     		do = 35210.4256630706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.00629140--0.99401955) × cos(-1.10913147) × R
    0.0122718500000001 × 0.445439290109431 × 6371000     		du = 34826.206014491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10363500)-sin(-1.10913147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450353593075369-0.445439290109431)×R²
    abs(-0.99401955--1.00629140)×0.0049143029659377×R²
    0.0122718500000001×0.0049143029659377×6371000²
    0.0122718500000001×0.0049143029659377×40589641000000     		ar = 1226274834.45162m²