Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17399 / 18194
↖ ↑ ↗
← S 19.497664°
E 11.151123°		 ← 1 151.58 m → S 19.497664°
E 11.162109°		 →
↑
1 151.49 m
↓
↑
1 151.49 m
↓
S 19.508020°
E 11.151123°		 ← 1 151.51 m →
1 326 001 m²		 S 19.508020°
E 11.162109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530990600585938 y=0.555252075195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530990600585938 × 215)
    floor (0.530990600585938 × 32768)
    floor (17399.5)     		tx = 17399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555252075195312 × 215)
    floor (0.555252075195312 × 32768)
    floor (18194.5)     		ty = 18194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17399 / 18194 ti = "15/17399/18194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17399/18194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17399 ÷ 215
    17399 ÷ 32768     		x = 0.530975341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18194 ÷ 215
    18194 ÷ 32768     		y = 0.55523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530975341796875 × 2 - 1) × π
    0.06195068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19462381
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.1104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.347063153249207
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19462381} λ = 0.19462381}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.347063153249207))-π/2
    2×atan(0.706760692614171)-π/2
    2×0.61524894531105-π/2
    1.2304978906221-1.57079632675     		φ = -0.34029844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19462381} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.151123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34029844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.497664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17399 KachelY 18194 0.19462381 -0.34029844 11.151123 -19.497664
    Oben rechts KachelX + 1 17400 KachelY 18194 0.19481556 -0.34029844 11.162109 -19.497664
    Unten links KachelX 17399 KachelY + 1 18195 0.19462381 -0.34047918 11.151123 -19.508020
    Unten rechts KachelX + 1 17400 KachelY + 1 18195 0.19481556 -0.34047918 11.162109 -19.508020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34029844--0.34047918) × R
    0.000180740000000013 × 6371000     		dl = 1151.49454000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34029844--0.34047918) × R
    0.000180740000000013 × 6371000     		dr = 1151.49454000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19462381-0.19481556) × cos(-0.34029844) × R
    0.000191749999999991 × 0.942655097658148 × 6371000     		do = 1151.58446651172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19462381-0.19481556) × cos(-0.34047918) × R
    0.000191749999999991 × 0.942594756955065 × 6371000     		du = 1151.51075194046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34029844)-sin(-0.34047918))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942655097658148-0.942594756955065)×R²
    abs(0.19481556-0.19462381)×6.03407030821401e-05×R²
    0.000191749999999991×6.03407030821401e-05×6371000²
    0.000191749999999991×6.03407030821401e-05×40589641000000     		ar = 1326000.7881835m²