Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17399 / 12613
↖ ↑ ↗
← N 80.953940°
W132.212219°		 ← 48.02 m → N 80.953940°
W132.209473°		 →
↑
47.97 m
↓
↑
47.97 m
↓
N 80.953508°
W132.212219°		 ← 48.02 m →
2 304 m²		 N 80.953508°
W132.209473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132747650146484 y=0.0962333679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132747650146484 × 217)
    floor (0.132747650146484 × 131072)
    floor (17399.5)     		tx = 17399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0962333679199219 × 217)
    floor (0.0962333679199219 × 131072)
    floor (12613.5)     		ty = 12613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17399 / 12613 ti = "17/17399/12613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17399/12613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17399 ÷ 217
    17399 ÷ 131072     		x = 0.132743835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12613 ÷ 217
    12613 ÷ 131072     		y = 0.0962295532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132743835449219 × 2 - 1) × π
    -0.734512329101562 × 3.1415926535     		Λ = -2.30753854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0962295532226562 × 2 - 1) × π
    0.807540893554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.53696453859223
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30753854} λ = -2.30753854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53696453859223))-π/2
    2×atan(12.6412406752864)-π/2
    2×1.49185456034836-π/2
    2.98370912069673-1.57079632675     		φ = 1.41291279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30753854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.212219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41291279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.953940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17399 KachelY 12613 -2.30753854 1.41291279 -132.212219 80.953940
    Oben rechts KachelX + 1 17400 KachelY 12613 -2.30749060 1.41291279 -132.209473 80.953940
    Unten links KachelX 17399 KachelY + 1 12614 -2.30753854 1.41290526 -132.212219 80.953508
    Unten rechts KachelX + 1 17400 KachelY + 1 12614 -2.30749060 1.41290526 -132.209473 80.953508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41291279-1.41290526) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dl = 47.9736299998588m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41291279-1.41290526) × R
    7.52999999997783e-06 × 6371000     		dr = 47.9736299998588m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30753854--2.30749060) × cos(1.41291279) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157228421127643 × 6371000     		do = 48.0216068719106m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30753854--2.30749060) × cos(1.41290526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157235857467027 × 6371000     		du = 48.0238781213698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41291279)-sin(1.41290526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157228421127643-0.157235857467027)×R²
    abs(-2.30749060--2.30753854)×7.43633938390942e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.43633938390942e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.43633938390942e-06×40589641000000     		ar = 2303.82528001341m²