Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17392 / 24436
↖ ↑ ↗
← S 65.892680°
E 11.074219°		 ← 498.97 m → S 65.892680°
E 11.085205°		 →
↑
498.98 m
↓
↑
498.98 m
↓
S 65.897167°
E 11.074219°		 ← 498.89 m →
248 955 m²		 S 65.897167°
E 11.085205°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530776977539062 y=0.745742797851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530776977539062 × 215)
    floor (0.530776977539062 × 32768)
    floor (17392.5)     		tx = 17392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745742797851562 × 215)
    floor (0.745742797851562 × 32768)
    floor (24436.5)     		ty = 24436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17392 / 24436 ti = "15/17392/24436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17392/24436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17392 ÷ 215
    17392 ÷ 32768     		x = 0.53076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24436 ÷ 215
    24436 ÷ 32768     		y = 0.7457275390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.53076171875 × 2 - 1) × π
    0.0615234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.19328158
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7457275390625 × 2 - 1) × π
    -0.491455078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54395166296277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19328158} λ = 0.19328158}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54395166296277))-π/2
    2×atan(0.213535611214969)-π/2
    2×0.210376051397697-π/2
    0.420752102795394-1.57079632675     		φ = -1.15004422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19328158} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 11.074219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15004422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.892680°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17392 KachelY 24436 0.19328158 -1.15004422 11.074219 -65.892680
    Oben rechts KachelX + 1 17393 KachelY 24436 0.19347333 -1.15004422 11.085205 -65.892680
    Unten links KachelX 17392 KachelY + 1 24437 0.19328158 -1.15012254 11.074219 -65.897167
    Unten rechts KachelX + 1 17393 KachelY + 1 24437 0.19347333 -1.15012254 11.085205 -65.897167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15004422--1.15012254) × R
    7.83199999998541e-05 × 6371000     		dl = 498.97671999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15004422--1.15012254) × R
    7.83199999998541e-05 × 6371000     		dr = 498.97671999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19328158-0.19347333) × cos(-1.15004422) × R
    0.000191749999999991 × 0.408447078063352 × 6371000     		do = 498.97498210998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19328158-0.19347333) × cos(-1.15012254) × R
    0.000191749999999991 × 0.408375587724264 × 6371000     		du = 498.887646705754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15004422)-sin(-1.15012254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408447078063352-0.408375587724264)×R²
    abs(0.19347333-0.19328158)×7.14903390886534e-05×R²
    0.000191749999999991×7.14903390886534e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.14903390886534e-05×40589641000000     		ar = 248955.110894668m²