Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1738 / 542
↖ ↑ ↗
← N 78.664608°
W 27.246094°		 ← 1 920.90 m → N 78.664608°
W 27.158203°		 →
↑
1 922.32 m
↓
↑
1 922.32 m
↓
N 78.647320°
W 27.246094°		 ← 1 923.79 m →
3 695 364 m²		 N 78.647320°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4244384765625 y=0.1324462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4244384765625 × 212)
    floor (0.4244384765625 × 4096)
    floor (1738.5)     		tx = 1738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1324462890625 × 212)
    floor (0.1324462890625 × 4096)
    floor (542.5)     		ty = 542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1738 / 542 ti = "12/1738/542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1738/542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1738 ÷ 212
    1738 ÷ 4096     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 542 ÷ 212
    542 ÷ 4096     		y = 0.13232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    0.7353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31017506648975
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31017506648975))-π/2
    2×atan(10.076188503565)-π/2
    2×1.47187636807354-π/2
    2.94375273614707-1.57079632675     		φ = 1.37295641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37295641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.664608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1738 KachelY 542 -0.47553404 1.37295641 -27.246094 78.664608
    Oben rechts KachelX + 1 1739 KachelY 542 -0.47400006 1.37295641 -27.158203 78.664608
    Unten links KachelX 1738 KachelY + 1 543 -0.47553404 1.37265468 -27.246094 78.647320
    Unten rechts KachelX + 1 1739 KachelY + 1 543 -0.47400006 1.37265468 -27.158203 78.647320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37295641-1.37265468) × R
    0.000301730000000111 × 6371000     		dl = 1922.32183000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37295641-1.37265468) × R
    0.000301730000000111 × 6371000     		dr = 1922.32183000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47400006) × cos(1.37295641) × R
    0.00153397999999999 × 0.196551843595368 × 6371000     		do = 1920.89852973178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47400006) × cos(1.37265468) × R
    0.00153397999999999 × 0.196847678927376 × 6371000     		du = 1923.78972446139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37295641)-sin(1.37265468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196551843595368-0.196847678927376)×R²
    abs(-0.47400006--0.47553404)×0.000295835332008637×R²
    0.00153397999999999×0.000295835332008637×6371000²
    0.00153397999999999×0.000295835332008637×40589641000000     		ar = 3695364.10832911m²