Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1738 / 1358
↖ ↑ ↗
← N 76.037317°
W103.623047°		 ← 1 179.06 m → N 76.037317°
W103.579102°		 →
↑
1 179.53 m
↓
↑
1 179.53 m
↓
N 76.026709°
W103.623047°		 ← 1 179.94 m →
1 391 253 m²		 N 76.026709°
W103.579102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1358 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21221923828125 y=0.16583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21221923828125 × 213)
    floor (0.21221923828125 × 8192)
    floor (1738.5)     		tx = 1738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16583251953125 × 213)
    floor (0.16583251953125 × 8192)
    floor (1358.5)     		ty = 1358
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1738 / 1358 ti = "13/1738/1358"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1738/1358.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1738 ÷ 213
    1738 ÷ 8192     		x = 0.212158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1358 ÷ 213
    1358 ÷ 8192     		y = 0.165771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.212158203125 × 2 - 1) × π
    -0.57568359375 × 3.1415926535     		Λ = -1.80856335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165771484375 × 2 - 1) × π
    0.66845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.10001969855542
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.80856335} λ = -1.80856335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10001969855542))-π/2
    2×atan(8.16633077590262)-π/2
    2×1.44894892770788-π/2
    2.89789785541576-1.57079632675     		φ = 1.32710153
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.80856335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.623047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32710153 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.037317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1738 KachelY 1358 -1.80856335 1.32710153 -103.623047 76.037317
    Oben rechts KachelX + 1 1739 KachelY 1358 -1.80779636 1.32710153 -103.579102 76.037317
    Unten links KachelX 1738 KachelY + 1 1359 -1.80856335 1.32691639 -103.623047 76.026709
    Unten rechts KachelX + 1 1739 KachelY + 1 1359 -1.80779636 1.32691639 -103.579102 76.026709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32710153-1.32691639) × R
    0.000185139999999917 × 6371000     		dl = 1179.52693999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32710153-1.32691639) × R
    0.000185139999999917 × 6371000     		dr = 1179.52693999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.80856335--1.80779636) × cos(1.32710153) × R
    0.000766990000000023 × 0.241289892198102 × 6371000     		do = 1179.06143917088m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.80856335--1.80779636) × cos(1.32691639) × R
    0.000766990000000023 × 0.241469557745691 × 6371000     		du = 1179.93937366362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32710153)-sin(1.32691639))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.241289892198102-0.241469557745691)×R²
    abs(-1.80779636--1.80856335)×0.000179665547589497×R²
    0.000766990000000023×0.000179665547589497×6371000²
    0.000766990000000023×0.000179665547589497×40589641000000     		ar = 1391252.50908423m²