Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1738 / 1342
↖ ↑ ↗
← N 52.589701°
W 27.246094°		 ← 5 937.27 m → N 52.589701°
W 27.158203°		 →
↑
5 940.89 m
↓
↑
5 940.89 m
↓
N 52.536273°
W 27.246094°		 ← 5 944.51 m →
35 294 196 m²		 N 52.536273°
W 27.158203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4244384765625 y=0.3277587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4244384765625 × 212)
    floor (0.4244384765625 × 4096)
    floor (1738.5)     		tx = 1738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3277587890625 × 212)
    floor (0.3277587890625 × 4096)
    floor (1342.5)     		ty = 1342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1738 / 1342 ti = "12/1738/1342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1738/1342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1738 ÷ 212
    1738 ÷ 4096     		x = 0.42431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1342 ÷ 212
    1342 ÷ 4096     		y = 0.32763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42431640625 × 2 - 1) × π
    -0.1513671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.47553404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32763671875 × 2 - 1) × π
    0.3447265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.08299043621631
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.47553404} λ = -0.47553404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08299043621631))-π/2
    2×atan(2.95349860728082)-π/2
    2×1.2443298789144-π/2
    2.48865975782881-1.57079632675     		φ = 0.91786343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.47553404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.246094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91786343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.589701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1738 KachelY 1342 -0.47553404 0.91786343 -27.246094 52.589701
    Oben rechts KachelX + 1 1739 KachelY 1342 -0.47400006 0.91786343 -27.158203 52.589701
    Unten links KachelX 1738 KachelY + 1 1343 -0.47553404 0.91693094 -27.246094 52.536273
    Unten rechts KachelX + 1 1739 KachelY + 1 1343 -0.47400006 0.91693094 -27.158203 52.536273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91786343-0.91693094) × R
    0.000932490000000064 × 6371000     		dl = 5940.8937900004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91786343-0.91693094) × R
    0.000932490000000064 × 6371000     		dr = 5940.8937900004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.47553404--0.47400006) × cos(0.91786343) × R
    0.00153397999999999 × 0.607518631140303 × 6371000     		do = 5937.27142923412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.47553404--0.47400006) × cos(0.91693094) × R
    0.00153397999999999 × 0.608259048771312 × 6371000     		du = 5944.50752080556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91786343)-sin(0.91693094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.607518631140303-0.608259048771312)×R²
    abs(-0.47400006--0.47553404)×0.000740417631008849×R²
    0.00153397999999999×0.000740417631008849×6371000²
    0.00153397999999999×0.000740417631008849×40589641000000     		ar = 35294195.9466932m²