Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17377 / 51489
↖ ↑ ↗
← S 71.132764°
W 84.545288°		 ← 197.51 m → S 71.132764°
W 84.539795°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 71.134540°
W 84.545288°		 ← 197.50 m →
39 008 m²		 S 71.134540°
W 84.539795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51489 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265159606933594 y=0.785667419433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265159606933594 × 216)
    floor (0.265159606933594 × 65536)
    floor (17377.5)     		tx = 17377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785667419433594 × 216)
    floor (0.785667419433594 × 65536)
    floor (51489.5)     		ty = 51489
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17377 / 51489 ti = "16/17377/51489"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17377/51489.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17377 ÷ 216
    17377 ÷ 65536     		x = 0.265151977539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51489 ÷ 216
    51489 ÷ 65536     		y = 0.785659790039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.265151977539062 × 2 - 1) × π
    -0.469696044921875 × 3.1415926535     		Λ = -1.47559364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785659790039062 × 2 - 1) × π
    -0.571319580078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79485339557414
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47559364} λ = -1.47559364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79485339557414))-π/2
    2×atan(0.166151809151968)-π/2
    2×0.164647693182424-π/2
    0.329295386364849-1.57079632675     		φ = -1.24150094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47559364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.545288°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24150094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.132764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17377 KachelY 51489 -1.47559364 -1.24150094 -84.545288 -71.132764
    Oben rechts KachelX + 1 17378 KachelY 51489 -1.47549777 -1.24150094 -84.539795 -71.132764
    Unten links KachelX 17377 KachelY + 1 51490 -1.47559364 -1.24153194 -84.545288 -71.134540
    Unten rechts KachelX + 1 17378 KachelY + 1 51490 -1.47549777 -1.24153194 -84.539795 -71.134540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24150094--1.24153194) × R
    3.09999999998922e-05 × 6371000     		dl = 197.500999999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24150094--1.24153194) × R
    3.09999999998922e-05 × 6371000     		dr = 197.500999999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47559364--1.47549777) × cos(-1.24150094) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323376354081789 × 6371000     		do = 197.514322180342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47559364--1.47549777) × cos(-1.24153194) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323347019542968 × 6371000     		du = 197.496405002792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24150094)-sin(-1.24153194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323376354081789-0.323347019542968)×R²
    abs(-1.47549777--1.47559364)×2.93345388210353e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93345388210353e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93345388210353e-05×40589641000000     		ar = 39007.5068174994m²