Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17377 / 18100
↖ ↑ ↗
← S 18.521284°
E 10.909424°		 ← 1 158.30 m → S 18.521284°
E 10.920410°		 →
↑
1 158.31 m
↓
↑
1 158.31 m
↓
S 18.531701°
E 10.909424°		 ← 1 158.23 m →
1 341 637 m²		 S 18.531701°
E 10.920410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17377 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18100 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530319213867188 y=0.552383422851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530319213867188 × 215)
    floor (0.530319213867188 × 32768)
    floor (17377.5)     		tx = 17377
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552383422851562 × 215)
    floor (0.552383422851562 × 32768)
    floor (18100.5)     		ty = 18100
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17377 / 18100 ti = "15/17377/18100"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17377/18100.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17377 ÷ 215
    17377 ÷ 32768     		x = 0.530303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18100 ÷ 215
    18100 ÷ 32768     		y = 0.5523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530303955078125 × 2 - 1) × π
    0.06060791015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.19040537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.329038878992065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.19040537} λ = 0.19040537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.329038878992065))-π/2
    2×atan(0.719615038295828)-π/2
    2×0.62376947553959-π/2
    1.24753895107918-1.57079632675     		φ = -0.32325738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.19040537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.909424°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32325738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.521284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17377 KachelY 18100 0.19040537 -0.32325738 10.909424 -18.521284
    Oben rechts KachelX + 1 17378 KachelY 18100 0.19059711 -0.32325738 10.920410 -18.521284
    Unten links KachelX 17377 KachelY + 1 18101 0.19040537 -0.32343919 10.909424 -18.531701
    Unten rechts KachelX + 1 17378 KachelY + 1 18101 0.19059711 -0.32343919 10.920410 -18.531701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32325738--0.32343919) × R
    0.000181810000000004 × 6371000     		dl = 1158.31151000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32325738--0.32343919) × R
    0.000181810000000004 × 6371000     		dr = 1158.31151000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.19040537-0.19059711) × cos(-0.32325738) × R
    0.000191739999999996 × 0.948205721132895 × 6371000     		do = 1158.30491582398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.19040537-0.19059711) × cos(-0.32343919) × R
    0.000191739999999996 × 0.948147952259584 × 6371000     		du = 1158.23434678137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32325738)-sin(-0.32343919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948205721132895-0.948147952259584)×R²
    abs(0.19059711-0.19040537)×5.77688733107706e-05×R²
    0.000191739999999996×5.77688733107706e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.77688733107706e-05×40589641000000     		ar = 1341637.04931701m²