Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17376 / 51488
↖ ↑ ↗
← S 71.130988°
W 84.550781°		 ← 197.55 m → S 71.130988°
W 84.545288°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 71.132764°
W 84.550781°		 ← 197.53 m →
39 015 m²		 S 71.132764°
W 84.545288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.265144348144531 y=0.785652160644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.265144348144531 × 216)
    floor (0.265144348144531 × 65536)
    floor (17376.5)     		tx = 17376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785652160644531 × 216)
    floor (0.785652160644531 × 65536)
    floor (51488.5)     		ty = 51488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17376 / 51488 ti = "16/17376/51488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17376/51488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17376 ÷ 216
    17376 ÷ 65536     		x = 0.26513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51488 ÷ 216
    51488 ÷ 65536     		y = 0.78564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26513671875 × 2 - 1) × π
    -0.4697265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47568952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78564453125 × 2 - 1) × π
    -0.5712890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7947575217749
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47568952} λ = -1.47568952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7947575217749))-π/2
    2×atan(0.166167739520802)-π/2
    2×0.164663195545424-π/2
    0.329326391090848-1.57079632675     		φ = -1.24146994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47568952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.550781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24146994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.130988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17376 KachelY 51488 -1.47568952 -1.24146994 -84.550781 -71.130988
    Oben rechts KachelX + 1 17377 KachelY 51488 -1.47559364 -1.24146994 -84.545288 -71.130988
    Unten links KachelX 17376 KachelY + 1 51489 -1.47568952 -1.24150094 -84.550781 -71.132764
    Unten rechts KachelX + 1 17377 KachelY + 1 51489 -1.47559364 -1.24150094 -84.545288 -71.132764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24146994--1.24150094) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24146994--1.24150094) × R
    3.10000000001143e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47568952--1.47559364) × cos(-1.24146994) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		do = 197.552843344358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47568952--1.47559364) × cos(-1.24150094) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323376354081789 × 6371000     		du = 197.534924487735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24146994)-sin(-1.24150094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323405688309846-0.323376354081789)×R²
    abs(-1.47559364--1.47568952)×2.93342280565656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93342280565656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93342280565656e-05×40589641000000     		ar = 39015.114620651m²