Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17369 / 24336
↖ ↑ ↗
← S 65.440002°
E 10.821533°		 ← 507.77 m → S 65.440002°
E 10.832519°		 →
↑
507.70 m
↓
↑
507.70 m
↓
S 65.444567°
E 10.821533°		 ← 507.68 m →
257 775 m²		 S 65.444567°
E 10.832519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17369 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.530075073242188 y=0.742691040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.530075073242188 × 215)
    floor (0.530075073242188 × 32768)
    floor (17369.5)     		tx = 17369
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742691040039062 × 215)
    floor (0.742691040039062 × 32768)
    floor (24336.5)     		ty = 24336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17369 / 24336 ti = "15/17369/24336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17369/24336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17369 ÷ 215
    17369 ÷ 32768     		x = 0.530059814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24336 ÷ 215
    24336 ÷ 32768     		y = 0.74267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.530059814453125 × 2 - 1) × π
    0.06011962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18887138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52477690311475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18887138} λ = 0.18887138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52477690311475))-π/2
    2×atan(0.217669612861329)-π/2
    2×0.214326417670736-π/2
    0.428652835341472-1.57079632675     		φ = -1.14214349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18887138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.821533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14214349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.440002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17369 KachelY 24336 0.18887138 -1.14214349 10.821533 -65.440002
    Oben rechts KachelX + 1 17370 KachelY 24336 0.18906313 -1.14214349 10.832519 -65.440002
    Unten links KachelX 17369 KachelY + 1 24337 0.18887138 -1.14222318 10.821533 -65.444567
    Unten rechts KachelX + 1 17370 KachelY + 1 24337 0.18906313 -1.14222318 10.832519 -65.444567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14214349--1.14222318) × R
    7.96899999999656e-05 × 6371000     		dl = 507.704989999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14214349--1.14222318) × R
    7.96899999999656e-05 × 6371000     		dr = 507.704989999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18887138-0.18906313) × cos(-1.14214349) × R
    0.000191749999999991 × 0.415645899308277 × 6371000     		do = 507.769344696515m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18887138-0.18906313) × cos(-1.14222318) × R
    0.000191749999999991 × 0.41557341782038 × 6371000     		du = 507.680798466001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14214349)-sin(-1.14222318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415645899308277-0.41557341782038)×R²
    abs(0.18906313-0.18887138)×7.24814878970692e-05×R²
    0.000191749999999991×7.24814878970692e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.24814878970692e-05×40589641000000     		ar = 257774.552525947m²