Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17366 / 51479
↖ ↑ ↗
← S 71.114993°
W 84.605713°		 ← 197.71 m → S 71.114993°
W 84.600220°		 →
↑
197.69 m
↓
↑
197.69 m
↓
S 71.116771°
W 84.605713°		 ← 197.70 m →
39 085 m²		 S 71.116771°
W 84.600220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264991760253906 y=0.785514831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264991760253906 × 216)
    floor (0.264991760253906 × 65536)
    floor (17366.5)     		tx = 17366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785514831542969 × 216)
    floor (0.785514831542969 × 65536)
    floor (51479.5)     		ty = 51479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17366 / 51479 ti = "16/17366/51479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17366/51479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17366 ÷ 216
    17366 ÷ 65536     		x = 0.264984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51479 ÷ 216
    51479 ÷ 65536     		y = 0.785507202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264984130859375 × 2 - 1) × π
    -0.47003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.47664826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785507202148438 × 2 - 1) × π
    -0.571014404296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79389465758174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47664826} λ = -1.47664826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79389465758174))-π/2
    2×atan(0.166311181589906)-π/2
    2×0.164802780116763-π/2
    0.329605560233525-1.57079632675     		φ = -1.24119077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47664826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.605713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24119077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.114993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17366 KachelY 51479 -1.47664826 -1.24119077 -84.605713 -71.114993
    Oben rechts KachelX + 1 17367 KachelY 51479 -1.47655238 -1.24119077 -84.600220 -71.114993
    Unten links KachelX 17366 KachelY + 1 51480 -1.47664826 -1.24122180 -84.605713 -71.116771
    Unten rechts KachelX + 1 17367 KachelY + 1 51480 -1.47655238 -1.24122180 -84.600220 -71.116771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24119077--1.24122180) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dl = 197.692129999566m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24119077--1.24122180) × R
    3.10299999999319e-05 × 6371000     		dr = 197.692129999566m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47664826--1.47655238) × cos(-1.24119077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323669843222211 × 6371000     		do = 197.714202763526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47664826--1.47655238) × cos(-1.24122180) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.323640483408607 × 6371000     		du = 197.696268277934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24119077)-sin(-1.24122180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323669843222211-0.323640483408607)×R²
    abs(-1.47655238--1.47664826)×2.93598136038575e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.93598136038575e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.93598136038575e-05×40589641000000     		ar = 39084.7691255238m²