Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17360 / 12625
↖ ↑ ↗
← N 80.948756°
W132.319336°		 ← 48.05 m → N 80.948756°
W132.316589°		 →
↑
48.04 m
↓
↑
48.04 m
↓
N 80.948324°
W132.319336°		 ← 48.05 m →
2 308 m²		 N 80.948324°
W132.316589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17360 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12625 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132450103759766 y=0.0963249206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132450103759766 × 217)
    floor (0.132450103759766 × 131072)
    floor (17360.5)     		tx = 17360
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0963249206542969 × 217)
    floor (0.0963249206542969 × 131072)
    floor (12625.5)     		ty = 12625
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17360 / 12625 ti = "17/17360/12625"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17360/12625.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17360 ÷ 217
    17360 ÷ 131072     		x = 0.1324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12625 ÷ 217
    12625 ÷ 131072     		y = 0.0963211059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1324462890625 × 2 - 1) × π
    -0.735107421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.30940808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0963211059570312 × 2 - 1) × π
    0.807357788085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.53638929579679
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30940808} λ = -2.30940808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53638929579679))-π/2
    2×atan(12.6339709837818)-π/2
    2×1.49180932524374-π/2
    2.98361865048749-1.57079632675     		φ = 1.41282232
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30940808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.319336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41282232 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.948756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17360 KachelY 12625 -2.30940808 1.41282232 -132.319336 80.948756
    Oben rechts KachelX + 1 17361 KachelY 12625 -2.30936014 1.41282232 -132.316589 80.948756
    Unten links KachelX 17360 KachelY + 1 12626 -2.30940808 1.41281478 -132.319336 80.948324
    Unten rechts KachelX + 1 17361 KachelY + 1 12626 -2.30936014 1.41281478 -132.316589 80.948324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41282232-1.41281478) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dl = 48.0373400008862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41282232-1.41281478) × R
    7.5400000001391e-06 × 6371000     		dr = 48.0373400008862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30940808--2.30936014) × cos(1.41282232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157317765242025 × 6371000     		do = 48.0488948641602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30940808--2.30936014) × cos(1.41281478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157325211349734 × 6371000     		du = 48.0511690971175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41282232)-sin(1.41281478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157317765242025-0.157325211349734)×R²
    abs(-2.30936014--2.30940808)×7.446107709419e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.446107709419e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.446107709419e-06×40589641000000     		ar = 2308.19572333271m²