Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17356 / 12668
↖ ↑ ↗
← N 80.930158°
W132.330322°		 ← 48.14 m → N 80.930158°
W132.327576°		 →
↑
48.16 m
↓
↑
48.16 m
↓
N 80.929725°
W132.330322°		 ← 48.14 m →
2 319 m²		 N 80.929725°
W132.327576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132419586181641 y=0.0966529846191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132419586181641 × 217)
    floor (0.132419586181641 × 131072)
    floor (17356.5)     		tx = 17356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0966529846191406 × 217)
    floor (0.0966529846191406 × 131072)
    floor (12668.5)     		ty = 12668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17356 / 12668 ti = "17/17356/12668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17356/12668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17356 ÷ 217
    17356 ÷ 131072     		x = 0.132415771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12668 ÷ 217
    12668 ÷ 131072     		y = 0.096649169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132415771484375 × 2 - 1) × π
    -0.73516845703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.30959982
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.096649169921875 × 2 - 1) × π
    0.80670166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.53432800911313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.30959982} λ = -2.30959982}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53432800911313))-π/2
    2×atan(12.6079555694561)-π/2
    2×1.49164702160486-π/2
    2.98329404320972-1.57079632675     		φ = 1.41249772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.30959982} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.330322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41249772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.930158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17356 KachelY 12668 -2.30959982 1.41249772 -132.330322 80.930158
    Oben rechts KachelX + 1 17357 KachelY 12668 -2.30955189 1.41249772 -132.327576 80.930158
    Unten links KachelX 17356 KachelY + 1 12669 -2.30959982 1.41249016 -132.330322 80.929725
    Unten rechts KachelX + 1 17357 KachelY + 1 12669 -2.30955189 1.41249016 -132.327576 80.929725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41249772-1.41249016) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dl = 48.1647600001118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41249772-1.41249016) × R
    7.56000000001755e-06 × 6371000     		dr = 48.1647600001118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.30959982--2.30955189) × cos(1.41249772) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157638315040537 × 6371000     		do = 48.1367558865874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.30959982--2.30955189) × cos(1.41249016) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.157645780512727 × 6371000     		du = 48.1390355583302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41249772)-sin(1.41249016))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157638315040537-0.157645780512727)×R²
    abs(-2.30955189--2.30959982)×7.46547218977156e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.46547218977156e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.46547218977156e-06×40589641000000     		ar = 2318.5501942722m²