Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17351 / 17979
↖ ↑ ↗
← S 17.256236°
E 10.623779°		 ← 1 166.65 m → S 17.256236°
E 10.634766°		 →
↑
1 166.59 m
↓
↑
1 166.59 m
↓
S 17.266728°
E 10.623779°		 ← 1 166.58 m →
1 360 968 m²		 S 17.266728°
E 10.634766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529525756835938 y=0.548690795898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529525756835938 × 215)
    floor (0.529525756835938 × 32768)
    floor (17351.5)     		tx = 17351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548690795898438 × 215)
    floor (0.548690795898438 × 32768)
    floor (17979.5)     		ty = 17979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17351 / 17979 ti = "15/17351/17979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17351/17979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17351 ÷ 215
    17351 ÷ 32768     		x = 0.529510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17979 ÷ 215
    17979 ÷ 32768     		y = 0.548675537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529510498046875 × 2 - 1) × π
    0.05902099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18541993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.09735107421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.305837419575958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18541993} λ = 0.18541993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305837419575958))-π/2
    2×atan(0.736506351237708)-π/2
    2×0.634809093309502-π/2
    1.269618186619-1.57079632675     		φ = -0.30117814
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18541993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.623779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30117814 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.256236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17351 KachelY 17979 0.18541993 -0.30117814 10.623779 -17.256236
    Oben rechts KachelX + 1 17352 KachelY 17979 0.18561168 -0.30117814 10.634766 -17.256236
    Unten links KachelX 17351 KachelY + 1 17980 0.18541993 -0.30136125 10.623779 -17.266728
    Unten rechts KachelX + 1 17352 KachelY + 1 17980 0.18561168 -0.30136125 10.634766 -17.266728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30117814--0.30136125) × R
    0.000183110000000042 × 6371000     		dl = 1166.59381000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30117814--0.30136125) × R
    0.000183110000000042 × 6371000     		dr = 1166.59381000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18541993-0.18561168) × cos(-0.30117814) × R
    0.000191749999999991 × 0.954987662019806 × 6371000     		do = 1166.65041118907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18541993-0.18561168) × cos(-0.30136125) × R
    0.000191749999999991 × 0.954933327248658 × 6371000     		du = 1166.5840337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30117814)-sin(-0.30136125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954987662019806-0.954933327248658)×R²
    abs(0.18561168-0.18541993)×5.43347711478015e-05×R²
    0.000191749999999991×5.43347711478015e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.43347711478015e-05×40589641000000     		ar = 1360968.43414596m²