Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1735 / 1369
↖ ↑ ↗
← N 75.920199°
W103.754883°		 ← 1 188.75 m → N 75.920199°
W103.710938°		 →
↑
1 189.21 m
↓
↑
1 189.21 m
↓
N 75.909504°
W103.754883°		 ← 1 189.64 m →
1 414 203 m²		 N 75.909504°
W103.710938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21185302734375 y=0.16717529296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21185302734375 × 213)
    floor (0.21185302734375 × 8192)
    floor (1735.5)     		tx = 1735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16717529296875 × 213)
    floor (0.16717529296875 × 8192)
    floor (1369.5)     		ty = 1369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1735 / 1369 ti = "13/1735/1369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1735/1369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1735 ÷ 213
    1735 ÷ 8192     		x = 0.2117919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1369 ÷ 213
    1369 ÷ 8192     		y = 0.1671142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2117919921875 × 2 - 1) × π
    -0.576416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.81086432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1671142578125 × 2 - 1) × π
    0.665771484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.09158280422229
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.81086432} λ = -1.81086432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09158280422229))-π/2
    2×atan(8.09772213495384)-π/2
    2×1.44792688139877-π/2
    2.89585376279753-1.57079632675     		φ = 1.32505744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.81086432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -103.754883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32505744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.920199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1735 KachelY 1369 -1.81086432 1.32505744 -103.754883 75.920199
    Oben rechts KachelX + 1 1736 KachelY 1369 -1.81009733 1.32505744 -103.710938 75.920199
    Unten links KachelX 1735 KachelY + 1 1370 -1.81086432 1.32487078 -103.754883 75.909504
    Unten rechts KachelX + 1 1736 KachelY + 1 1370 -1.81009733 1.32487078 -103.710938 75.909504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32505744-1.32487078) × R
    0.000186660000000005 × 6371000     		dl = 1189.21086000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32505744-1.32487078) × R
    0.000186660000000005 × 6371000     		dr = 1189.21086000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.81086432--1.81009733) × cos(1.32505744) × R
    0.000766990000000023 × 0.243273080169748 × 6371000     		do = 1188.75227388714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.81086432--1.81009733) × cos(1.32487078) × R
    0.000766990000000023 × 0.243454128260775 × 6371000     		du = 1189.63696416911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32505744)-sin(1.32487078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.243273080169748-0.243454128260775)×R²
    abs(-1.81009733--1.81086432)×0.000181048091027841×R²
    0.000766990000000023×0.000181048091027841×6371000²
    0.000766990000000023×0.000181048091027841×40589641000000     		ar = 1414203.15970905m²