Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17348 / 18111
↖ ↑ ↗
← S 18.635835°
E 10.590820°		 ← 1 157.59 m → S 18.635835°
E 10.601806°		 →
↑
1 157.55 m
↓
↑
1 157.55 m
↓
S 18.646245°
E 10.590820°		 ← 1 157.52 m →
1 339 920 m²		 S 18.646245°
E 10.601806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17348 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18111 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529434204101562 y=0.552719116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529434204101562 × 215)
    floor (0.529434204101562 × 32768)
    floor (17348.5)     		tx = 17348
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552719116210938 × 215)
    floor (0.552719116210938 × 32768)
    floor (18111.5)     		ty = 18111
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17348 / 18111 ti = "15/17348/18111"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17348/18111.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17348 ÷ 215
    17348 ÷ 32768     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18111 ÷ 215
    18111 ÷ 32768     		y = 0.552703857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.10540771484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.331148102575348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331148102575348))-π/2
    2×atan(0.718098808881708)-π/2
    2×0.622769822196035-π/2
    1.24553964439207-1.57079632675     		φ = -0.32525668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32525668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.635835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17348 KachelY 18111 0.18484468 -0.32525668 10.590820 -18.635835
    Oben rechts KachelX + 1 17349 KachelY 18111 0.18503643 -0.32525668 10.601806 -18.635835
    Unten links KachelX 17348 KachelY + 1 18112 0.18484468 -0.32543837 10.590820 -18.646245
    Unten rechts KachelX + 1 17349 KachelY + 1 18112 0.18503643 -0.32543837 10.601806 -18.646245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32525668--0.32543837) × R
    0.000181689999999957 × 6371000     		dl = 1157.54698999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32525668--0.32543837) × R
    0.000181689999999957 × 6371000     		dr = 1157.54698999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18503643) × cos(-0.32525668) × R
    0.000191749999999991 × 0.947568735018757 × 6371000     		do = 1157.58715877171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18503643) × cos(-0.32543837) × R
    0.000191749999999991 × 0.94751065997265 × 6371000     		du = 1157.51621201594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32525668)-sin(-0.32543837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947568735018757-0.94751065997265)×R²
    abs(0.18503643-0.18484468)×5.80750461068869e-05×R²
    0.000191749999999991×5.80750461068869e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.80750461068869e-05×40589641000000     		ar = 1339920.47288259m²