Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17347 / 18116
↖ ↑ ↗
← S 18.687878°
E 10.579834°		 ← 1 157.17 m → S 18.687878°
E 10.590820°		 →
↑
1 157.23 m
↓
↑
1 157.23 m
↓
S 18.698286°
E 10.579834°		 ← 1 157.10 m →
1 339 071 m²		 S 18.698286°
E 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529403686523438 y=0.552871704101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529403686523438 × 215)
    floor (0.529403686523438 × 32768)
    floor (17347.5)     		tx = 17347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552871704101562 × 215)
    floor (0.552871704101562 × 32768)
    floor (18116.5)     		ty = 18116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17347 / 18116 ti = "15/17347/18116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17347/18116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17347 ÷ 215
    17347 ÷ 32768     		x = 0.529388427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18116 ÷ 215
    18116 ÷ 32768     		y = 0.5528564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529388427734375 × 2 - 1) × π
    0.05877685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18465294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5528564453125 × 2 - 1) × π
    -0.105712890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.332106840567749
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18465294} λ = 0.18465294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.332106840567749))-π/2
    2×atan(0.717410670196396)-π/2
    2×0.62231565675966-π/2
    1.24463131351932-1.57079632675     		φ = -0.32616501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18465294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.579834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32616501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.687878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17347 KachelY 18116 0.18465294 -0.32616501 10.579834 -18.687878
    Oben rechts KachelX + 1 17348 KachelY 18116 0.18484468 -0.32616501 10.590820 -18.687878
    Unten links KachelX 17347 KachelY + 1 18117 0.18465294 -0.32634665 10.579834 -18.698286
    Unten rechts KachelX + 1 17348 KachelY + 1 18117 0.18484468 -0.32634665 10.590820 -18.698286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32616501--0.32634665) × R
    0.000181640000000038 × 6371000     		dl = 1157.22844000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32616501--0.32634665) × R
    0.000181640000000038 × 6371000     		dr = 1157.22844000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18465294-0.18484468) × cos(-0.32616501) × R
    0.000191740000000024 × 0.947278085471757 × 6371000     		do = 1157.17173879047m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18465294-0.18484468) × cos(-0.32634665) × R
    0.000191740000000024 × 0.947219870102144 × 6371000     		du = 1157.1006243189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32616501)-sin(-0.32634665))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947278085471757-0.947219870102144)×R²
    abs(0.18484468-0.18465294)×5.82153696134791e-05×R²
    0.000191740000000024×5.82153696134791e-05×6371000²
    0.000191740000000024×5.82153696134791e-05×40589641000000     		ar = 1339070.90193011m²