Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17346 / 17980
↖ ↑ ↗
← S 17.266728°
E 10.568848°		 ← 1 166.58 m → S 17.266728°
E 10.579834°		 →
↑
1 166.53 m
↓
↑
1 166.53 m
↓
S 17.277219°
E 10.568848°		 ← 1 166.52 m →
1 360 817 m²		 S 17.277219°
E 10.579834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17346 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529373168945312 y=0.548721313476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529373168945312 × 215)
    floor (0.529373168945312 × 32768)
    floor (17346.5)     		tx = 17346
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548721313476562 × 215)
    floor (0.548721313476562 × 32768)
    floor (17980.5)     		ty = 17980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17346 / 17980 ti = "15/17346/17980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17346/17980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17346 ÷ 215
    17346 ÷ 32768     		x = 0.52935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17980 ÷ 215
    17980 ÷ 32768     		y = 0.5487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52935791015625 × 2 - 1) × π
    0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18446119} λ = 0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306029167174438))-π/2
    2×atan(0.736365141452344)-π/2
    2×0.634717537618551-π/2
    1.2694350752371-1.57079632675     		φ = -0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17346 KachelY 17980 0.18446119 -0.30136125 10.568848 -17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 17347 KachelY 17980 0.18465294 -0.30136125 10.579834 -17.266728
    Unten links KachelX 17346 KachelY + 1 17981 0.18446119 -0.30154435 10.568848 -17.277219
    Unten rechts KachelX + 1 17347 KachelY + 1 17981 0.18465294 -0.30154435 10.579834 -17.277219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30136125--0.30154435) × R
    0.000183099999999992 × 6371000     		dl = 1166.53009999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30136125--0.30154435) × R
    0.000183099999999992 × 6371000     		dr = 1166.53009999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18446119-0.18465294) × cos(-0.30136125) × R
    0.000191749999999991 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 1166.5840337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18446119-0.18465294) × cos(-0.30154435) × R
    0.000191749999999991 × 0.954878963429243 × 6371000     		du = 1166.51762072442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30136125)-sin(-0.30154435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.954878963429243)×R²
    abs(0.18465294-0.18446119)×5.43638194147045e-05×R²
    0.000191749999999991×5.43638194147045e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.43638194147045e-05×40589641000000     		ar = 1360816.65692493m²