Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17345 / 18117
↖ ↑ ↗
← S 18.698286°
E 10.557861°		 ← 1 157.16 m → S 18.698286°
E 10.568848°		 →
↑
1 157.10 m
↓
↑
1 157.10 m
↓
S 18.708692°
E 10.557861°		 ← 1 157.09 m →
1 338 911 m²		 S 18.708692°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529342651367188 y=0.552902221679688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529342651367188 × 215)
    floor (0.529342651367188 × 32768)
    floor (17345.5)     		tx = 17345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552902221679688 × 215)
    floor (0.552902221679688 × 32768)
    floor (18117.5)     		ty = 18117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17345 / 18117 ti = "15/17345/18117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17345/18117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17345 ÷ 215
    17345 ÷ 32768     		x = 0.529327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18117 ÷ 215
    18117 ÷ 32768     		y = 0.552886962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529327392578125 × 2 - 1) × π
    0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552886962890625 × 2 - 1) × π
    -0.10577392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.332298588166229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18426944} λ = 0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.332298588166229))-π/2
    2×atan(0.717273121610989)-π/2
    2×0.622224840401101-π/2
    1.2444496808022-1.57079632675     		φ = -0.32634665
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32634665 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.698286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17345 KachelY 18117 0.18426944 -0.32634665 10.557861 -18.698286
    Oben rechts KachelX + 1 17346 KachelY 18117 0.18446119 -0.32634665 10.568848 -18.698286
    Unten links KachelX 17345 KachelY + 1 18118 0.18426944 -0.32652827 10.557861 -18.708692
    Unten rechts KachelX + 1 17346 KachelY + 1 18118 0.18446119 -0.32652827 10.568848 -18.708692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32634665--0.32652827) × R
    0.000181619999999993 × 6371000     		dl = 1157.10101999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32634665--0.32652827) × R
    0.000181619999999993 × 6371000     		dr = 1157.10101999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(-0.32634665) × R
    0.000191749999999991 × 0.947219870102144 × 6371000     		do = 1157.16097169662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(-0.32652827) × R
    0.000191749999999991 × 0.947161629895954 × 6371000     		du = 1157.08982317481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32634665)-sin(-0.32652827))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.947219870102144-0.947161629895954)×R²
    abs(0.18446119-0.18426944)×5.82402061896081e-05×R²
    0.000191749999999991×5.82402061896081e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.82402061896081e-05×40589641000000     		ar = 1338910.98132108m²