Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17345 / 17977
↖ ↑ ↗
← S 17.235252°
E 10.557861°		 ← 1 166.78 m → S 17.235252°
E 10.568848°		 →
↑
1 166.72 m
↓
↑
1 166.72 m
↓
S 17.245744°
E 10.557861°		 ← 1 166.72 m →
1 361 272 m²		 S 17.245744°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17345 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529342651367188 y=0.548629760742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529342651367188 × 215)
    floor (0.529342651367188 × 32768)
    floor (17345.5)     		tx = 17345
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548629760742188 × 215)
    floor (0.548629760742188 × 32768)
    floor (17977.5)     		ty = 17977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17345 / 17977 ti = "15/17345/17977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17345/17977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17345 ÷ 215
    17345 ÷ 32768     		x = 0.529327392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17977 ÷ 215
    17977 ÷ 32768     		y = 0.548614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529327392578125 × 2 - 1) × π
    0.05865478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18426944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.548614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.09722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.305453924378998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18426944} λ = 0.18426944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305453924378998))-π/2
    2×atan(0.736788852051329)-π/2
    2×0.634992220312431-π/2
    1.26998444062486-1.57079632675     		φ = -0.30081189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18426944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.557861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30081189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.235252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17345 KachelY 17977 0.18426944 -0.30081189 10.557861 -17.235252
    Oben rechts KachelX + 1 17346 KachelY 17977 0.18446119 -0.30081189 10.568848 -17.235252
    Unten links KachelX 17345 KachelY + 1 17978 0.18426944 -0.30099502 10.557861 -17.245744
    Unten rechts KachelX + 1 17346 KachelY + 1 17978 0.18446119 -0.30099502 10.568848 -17.245744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30081189--0.30099502) × R
    0.000183129999999976 × 6371000     		dl = 1166.72122999985m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30081189--0.30099502) × R
    0.000183129999999976 × 6371000     		dr = 1166.72122999985m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(-0.30081189) × R
    0.000191749999999991 × 0.95509624438903 × 6371000     		do = 1166.78305967317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18426944-0.18446119) × cos(-0.30099502) × R
    0.000191749999999991 × 0.955041967735619 × 6371000     		du = 1166.71675318301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30081189)-sin(-0.30099502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95509624438903-0.955041967735619)×R²
    abs(0.18446119-0.18426944)×5.42766534108452e-05×R²
    0.000191749999999991×5.42766534108452e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.42766534108452e-05×40589641000000     		ar = 1361271.8897344m²