Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17344 / 12992
↖ ↑ ↗
← N 80.788795°
W132.363281°		 ← 48.89 m → N 80.788795°
W132.360535°		 →
↑
48.93 m
↓
↑
48.93 m
↓
N 80.788355°
W132.363281°		 ← 48.89 m →
2 392 m²		 N 80.788355°
W132.360535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17344 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12992 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132328033447266 y=0.0991249084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132328033447266 × 217)
    floor (0.132328033447266 × 131072)
    floor (17344.5)     		tx = 17344
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0991249084472656 × 217)
    floor (0.0991249084472656 × 131072)
    floor (12992.5)     		ty = 12992
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17344 / 12992 ti = "17/17344/12992"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17344/12992.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17344 ÷ 217
    17344 ÷ 131072     		x = 0.13232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12992 ÷ 217
    12992 ÷ 131072     		y = 0.09912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7353515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31017507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09912109375 × 2 - 1) × π
    0.8017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.51879645363623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31017507} λ = -2.31017507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.51879645363623))-π/2
    2×atan(12.4136472692055)-π/2
    2×1.49041340264838-π/2
    2.98082680529675-1.57079632675     		φ = 1.41003048
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31017507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41003048 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.788795°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17344 KachelY 12992 -2.31017507 1.41003048 -132.363281 80.788795
    Oben rechts KachelX + 1 17345 KachelY 12992 -2.31012713 1.41003048 -132.360535 80.788795
    Unten links KachelX 17344 KachelY + 1 12993 -2.31017507 1.41002280 -132.363281 80.788355
    Unten rechts KachelX + 1 17345 KachelY + 1 12993 -2.31012713 1.41002280 -132.360535 80.788355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41003048-1.41002280) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dl = 48.9292800011241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41003048-1.41002280) × R
    7.68000000017643e-06 × 6371000     		dr = 48.9292800011241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31017507--2.31012713) × cos(1.41003048) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160074224669386 × 6371000     		do = 48.8907885245414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31017507--2.31012713) × cos(1.41002280) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160081805630916 × 6371000     		du = 48.8931039453266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41003048)-sin(1.41002280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160074224669386-0.160081805630916)×R²
    abs(-2.31012713--2.31017507)×7.58096152983501e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.58096152983501e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.58096152983501e-06×40589641000000     		ar = 2392.24772731526m²