Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17342 / 51454
↖ ↑ ↗
← S 71.070493°
W 84.737549°		 ← 198.16 m → S 71.070493°
W 84.732055°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 71.072275°
W 84.737549°		 ← 198.15 m →
39 262 m²		 S 71.072275°
W 84.732055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17342 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264625549316406 y=0.785133361816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264625549316406 × 216)
    floor (0.264625549316406 × 65536)
    floor (17342.5)     		tx = 17342
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785133361816406 × 216)
    floor (0.785133361816406 × 65536)
    floor (51454.5)     		ty = 51454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17342 / 51454 ti = "16/17342/51454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17342/51454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17342 ÷ 216
    17342 ÷ 65536     		x = 0.264617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51454 ÷ 216
    51454 ÷ 65536     		y = 0.785125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.47076416015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.47894923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785125732421875 × 2 - 1) × π
    -0.57025146484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79149781260074
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47894923} λ = -1.47894923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79149781260074))-π/2
    2×atan(0.1667102818104)-π/2
    2×0.165191113470527-π/2
    0.330382226941054-1.57079632675     		φ = -1.24041410
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47894923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.737549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24041410 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.070493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17342 KachelY 51454 -1.47894923 -1.24041410 -84.737549 -71.070493
    Oben rechts KachelX + 1 17343 KachelY 51454 -1.47885335 -1.24041410 -84.732055 -71.070493
    Unten links KachelX 17342 KachelY + 1 51455 -1.47894923 -1.24044520 -84.737549 -71.072275
    Unten rechts KachelX + 1 17343 KachelY + 1 51455 -1.47885335 -1.24044520 -84.732055 -71.072275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24041410--1.24044520) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24041410--1.24044520) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47894923--1.47885335) × cos(-1.24041410) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324404607447958 × 6371000     		do = 198.163034578274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47894923--1.47885335) × cos(-1.24044520) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324375189228326 × 6371000     		du = 198.145064415273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24041410)-sin(-1.24044520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324404607447958-0.324375189228326)×R²
    abs(-1.47885335--1.47894923)×2.9418219631927e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.9418219631927e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.9418219631927e-05×40589641000000     		ar = 39261.8668774842m²