Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17338 / 18602
↖ ↑ ↗
← S 23.664651°
E 10.480957°		 ← 1 118.91 m → S 23.664651°
E 10.491944°		 →
↑
1 118.88 m
↓
↑
1 118.88 m
↓
S 23.674713°
E 10.480957°		 ← 1 118.83 m →
1 251 875 m²		 S 23.674713°
E 10.491944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17338 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529129028320312 y=0.567703247070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529129028320312 × 215)
    floor (0.529129028320312 × 32768)
    floor (17338.5)     		tx = 17338
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567703247070312 × 215)
    floor (0.567703247070312 × 32768)
    floor (18602.5)     		ty = 18602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17338 / 18602 ti = "15/17338/18602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17338/18602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17338 ÷ 215
    17338 ÷ 32768     		x = 0.52911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18602 ÷ 215
    18602 ÷ 32768     		y = 0.56768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52911376953125 × 2 - 1) × π
    0.0582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18292721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.425296173429138
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18292721} λ = 0.18292721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425296173429138))-π/2
    2×atan(0.653576184561806)-π/2
    2×0.578885127602287-π/2
    1.15777025520457-1.57079632675     		φ = -0.41302607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18292721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.480957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41302607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.664651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17338 KachelY 18602 0.18292721 -0.41302607 10.480957 -23.664651
    Oben rechts KachelX + 1 17339 KachelY 18602 0.18311896 -0.41302607 10.491944 -23.664651
    Unten links KachelX 17338 KachelY + 1 18603 0.18292721 -0.41320169 10.480957 -23.674713
    Unten rechts KachelX + 1 17339 KachelY + 1 18603 0.18311896 -0.41320169 10.491944 -23.674713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41302607--0.41320169) × R
    0.000175619999999987 × 6371000     		dl = 1118.87501999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41302607--0.41320169) × R
    0.000175619999999987 × 6371000     		dr = 1118.87501999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18292721-0.18311896) × cos(-0.41302607) × R
    0.000191749999999991 × 0.915910405848207 × 6371000     		do = 1118.91210126754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18292721-0.18311896) × cos(-0.41320169) × R
    0.000191749999999991 × 0.915839900881982 × 6371000     		du = 1118.82596963348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41302607)-sin(-0.41320169))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915910405848207-0.915839900881982)×R²
    abs(0.18311896-0.18292721)×7.0504966224183e-05×R²
    0.000191749999999991×7.0504966224183e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.0504966224183e-05×40589641000000     		ar = 1251874.6176347m²