Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17336 / 24330
↖ ↑ ↗
← S 65.412589°
E 10.458984°		 ← 508.30 m → S 65.412589°
E 10.469971°		 →
↑
508.21 m
↓
↑
508.21 m
↓
S 65.417159°
E 10.458984°		 ← 508.21 m →
258 303 m²		 S 65.417159°
E 10.469971°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529067993164062 y=0.742507934570312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529067993164062 × 215)
    floor (0.529067993164062 × 32768)
    floor (17336.5)     		tx = 17336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742507934570312 × 215)
    floor (0.742507934570312 × 32768)
    floor (24330.5)     		ty = 24330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17336 / 24330 ti = "15/17336/24330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17336/24330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17336 ÷ 215
    17336 ÷ 32768     		x = 0.529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24330 ÷ 215
    24330 ÷ 32768     		y = 0.74249267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74249267578125 × 2 - 1) × π
    -0.4849853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52362641752386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18254371} λ = 0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52362641752386))-π/2
    2×atan(0.21792018272537)-π/2
    2×0.214565640108899-π/2
    0.429131280217797-1.57079632675     		φ = -1.14166505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14166505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.412589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17336 KachelY 24330 0.18254371 -1.14166505 10.458984 -65.412589
    Oben rechts KachelX + 1 17337 KachelY 24330 0.18273546 -1.14166505 10.469971 -65.412589
    Unten links KachelX 17336 KachelY + 1 24331 0.18254371 -1.14174482 10.458984 -65.417159
    Unten rechts KachelX + 1 17337 KachelY + 1 24331 0.18273546 -1.14174482 10.469971 -65.417159
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14166505--1.14174482) × R
    7.97699999999235e-05 × 6371000     		dl = 508.214669999513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14166505--1.14174482) × R
    7.97699999999235e-05 × 6371000     		dr = 508.214669999513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18254371-0.18273546) × cos(-1.14166505) × R
    0.000191749999999991 × 0.416081005587125 × 6371000     		do = 508.300887604676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18254371-0.18273546) × cos(-1.14174482) × R
    0.000191749999999991 × 0.416008467204566 × 6371000     		du = 508.21227186941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14166505)-sin(-1.14174482))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416081005587125-0.416008467204566)×R²
    abs(0.18273546-0.18254371)×7.25383825587733e-05×R²
    0.000191749999999991×7.25383825587733e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.25383825587733e-05×40589641000000     		ar = 258303.450083628m²