Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17336 / 12648
↖ ↑ ↗
← N 80.938813°
W132.385254°		 ← 48.10 m → N 80.938813°
W132.382507°		 →
↑
48.10 m
↓
↑
48.10 m
↓
N 80.938380°
W132.385254°		 ← 48.10 m →
2 314 m²		 N 80.938380°
W132.382507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17336 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132266998291016 y=0.0965003967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132266998291016 × 217)
    floor (0.132266998291016 × 131072)
    floor (17336.5)     		tx = 17336
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0965003967285156 × 217)
    floor (0.0965003967285156 × 131072)
    floor (12648.5)     		ty = 12648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17336 / 12648 ti = "17/17336/12648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17336/12648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17336 ÷ 217
    17336 ÷ 131072     		x = 0.13226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12648 ÷ 217
    12648 ÷ 131072     		y = 0.09649658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.7354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.31055856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09649658203125 × 2 - 1) × π
    0.8070068359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53528674710553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31055856} λ = -2.31055856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53528674710553))-π/2
    2×atan(12.6200490918004)-π/2
    2×1.49172255276688-π/2
    2.98344510553375-1.57079632675     		φ = 1.41264878
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31055856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.385254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41264878 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.938813°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17336 KachelY 12648 -2.31055856 1.41264878 -132.385254 80.938813
    Oben rechts KachelX + 1 17337 KachelY 12648 -2.31051062 1.41264878 -132.382507 80.938813
    Unten links KachelX 17336 KachelY + 1 12649 -2.31055856 1.41264123 -132.385254 80.938380
    Unten rechts KachelX + 1 17337 KachelY + 1 12649 -2.31051062 1.41264123 -132.382507 80.938380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41264878-1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dl = 48.101050000499m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41264878-1.41264123) × R
    7.55000000007833e-06 × 6371000     		dr = 48.101050000499m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31055856--2.31051062) × cos(1.41264878) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157489141958196 × 6371000     		do = 48.1012377245156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31055856--2.31051062) × cos(1.41264123) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.157496597735135 × 6371000     		du = 48.1035149107044m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41264878)-sin(1.41264123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157489141958196-0.157496597735135)×R²
    abs(-2.31051062--2.31055856)×7.45577693872512e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.45577693872512e-06×40589641000000     		ar = 2313.77480851912m²