Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17331 / 51449
↖ ↑ ↗
← S 71.061581°
W 84.797974°		 ← 198.23 m → S 71.061581°
W 84.792481°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
S 71.063363°
W 84.797974°		 ← 198.21 m →
39 288 m²		 S 71.063363°
W 84.792481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264457702636719 y=0.785057067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264457702636719 × 216)
    floor (0.264457702636719 × 65536)
    floor (17331.5)     		tx = 17331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785057067871094 × 216)
    floor (0.785057067871094 × 65536)
    floor (51449.5)     		ty = 51449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17331 / 51449 ti = "16/17331/51449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17331/51449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17331 ÷ 216
    17331 ÷ 65536     		x = 0.264450073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51449 ÷ 216
    51449 ÷ 65536     		y = 0.785049438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264450073242188 × 2 - 1) × π
    -0.471099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48000384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785049438476562 × 2 - 1) × π
    -0.570098876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79101844360454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48000384} λ = -1.48000384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79101844360454))-π/2
    2×atan(0.166790216708473)-π/2
    2×0.165268885857141-π/2
    0.330537771714283-1.57079632675     		φ = -1.24025856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48000384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.797974°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24025856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.061581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17331 KachelY 51449 -1.48000384 -1.24025856 -84.797974 -71.061581
    Oben rechts KachelX + 1 17332 KachelY 51449 -1.47990797 -1.24025856 -84.792481 -71.061581
    Unten links KachelX 17331 KachelY + 1 51450 -1.48000384 -1.24028967 -84.797974 -71.063363
    Unten rechts KachelX + 1 17332 KachelY + 1 51450 -1.47990797 -1.24028967 -84.792481 -71.063363
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24025856--1.24028967) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dl = 198.201809999298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24025856--1.24028967) × R
    3.11099999998898e-05 × 6371000     		dr = 198.201809999298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48000384--1.47990797) × cos(-1.24025856) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324551731673756 × 6371000     		do = 198.232228438647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48000384--1.47990797) × cos(-1.24028967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324522305564869 × 6371000     		du = 198.21425533122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24025856)-sin(-1.24028967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324551731673756-0.324522305564869)×R²
    abs(-1.47990797--1.48000384)×2.94261088871206e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94261088871206e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94261088871206e-05×40589641000000     		ar = 39288.2053288144m²