Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17331 / 18187
↖ ↑ ↗
← S 19.425154°
E 10.404053°		 ← 1 152.04 m → S 19.425154°
E 10.415039°		 →
↑
1 152.07 m
↓
↑
1 152.07 m
↓
S 19.435515°
E 10.404053°		 ← 1 151.97 m →
1 327 185 m²		 S 19.435515°
E 10.415039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17331 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18187 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528915405273438 y=0.555038452148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528915405273438 × 215)
    floor (0.528915405273438 × 32768)
    floor (17331.5)     		tx = 17331
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555038452148438 × 215)
    floor (0.555038452148438 × 32768)
    floor (18187.5)     		ty = 18187
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17331 / 18187 ti = "15/17331/18187"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17331/18187.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17331 ÷ 215
    17331 ÷ 32768     		x = 0.528900146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18187 ÷ 215
    18187 ÷ 32768     		y = 0.555023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528900146484375 × 2 - 1) × π
    0.05780029296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18158498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.11004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.345720920059845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18158498} λ = 0.18158498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.345720920059845))-π/2
    2×atan(0.707709967204147)-π/2
    2×0.61588171835117-π/2
    1.23176343670234-1.57079632675     		φ = -0.33903289
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18158498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.404053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33903289 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.425154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17331 KachelY 18187 0.18158498 -0.33903289 10.404053 -19.425154
    Oben rechts KachelX + 1 17332 KachelY 18187 0.18177672 -0.33903289 10.415039 -19.425154
    Unten links KachelX 17331 KachelY + 1 18188 0.18158498 -0.33921372 10.404053 -19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 17332 KachelY + 1 18188 0.18177672 -0.33921372 10.415039 -19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33903289--0.33921372) × R
    0.000180830000000021 × 6371000     		dl = 1152.06793000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33903289--0.33921372) × R
    0.000180830000000021 × 6371000     		dr = 1152.06793000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18158498-0.18177672) × cos(-0.33903289) × R
    0.000191739999999996 × 0.94307674329974 × 6371000     		do = 1152.0394819578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18158498-0.18177672) × cos(-0.33921372) × R
    0.000191739999999996 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 1151.96599809323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33903289)-sin(-0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94307674329974-0.943016588309602)×R²
    abs(0.18177672-0.18158498)×6.01549901381171e-05×R²
    0.000191739999999996×6.01549901381171e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.01549901381171e-05×40589641000000     		ar = 1327185.41567241m²