Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17330 / 51450
↖ ↑ ↗
← S 71.063363°
W 84.803467°		 ← 198.21 m → S 71.063363°
W 84.797974°		 →
↑
198.20 m
↓
↑
198.20 m
↓
S 71.065146°
W 84.803467°		 ← 198.20 m →
39 285 m²		 S 71.065146°
W 84.797974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17330 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264442443847656 y=0.785072326660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264442443847656 × 216)
    floor (0.264442443847656 × 65536)
    floor (17330.5)     		tx = 17330
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785072326660156 × 216)
    floor (0.785072326660156 × 65536)
    floor (51450.5)     		ty = 51450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17330 / 51450 ti = "16/17330/51450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17330/51450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17330 ÷ 216
    17330 ÷ 65536     		x = 0.264434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51450 ÷ 216
    51450 ÷ 65536     		y = 0.785064697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264434814453125 × 2 - 1) × π
    -0.47113037109375 × 3.1415926535     		Λ = -1.48009971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785064697265625 × 2 - 1) × π
    -0.57012939453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79111431740378
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48009971} λ = -1.48009971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79111431740378))-π/2
    2×atan(0.166774226663246)-π/2
    2×0.165253328558547-π/2
    0.330506657117095-1.57079632675     		φ = -1.24028967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48009971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.803467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24028967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.063363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17330 KachelY 51450 -1.48009971 -1.24028967 -84.803467 -71.063363
    Oben rechts KachelX + 1 17331 KachelY 51450 -1.48000384 -1.24028967 -84.797974 -71.063363
    Unten links KachelX 17330 KachelY + 1 51451 -1.48009971 -1.24032078 -84.803467 -71.065146
    Unten rechts KachelX + 1 17331 KachelY + 1 51451 -1.48000384 -1.24032078 -84.797974 -71.065146
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24028967--1.24032078) × R
    3.11100000001119e-05 × 6371000     		dl = 198.201810000713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24028967--1.24032078) × R
    3.11100000001119e-05 × 6371000     		dr = 198.201810000713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48009971--1.48000384) × cos(-1.24028967) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324522305564869 × 6371000     		do = 198.21425533122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48009971--1.48000384) × cos(-1.24032078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.324492879141898 × 6371000     		du = 198.196282031955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24028967)-sin(-1.24032078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.324522305564869-0.324492879141898)×R²
    abs(-1.48000384--1.48009971)×2.94264229704355e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.94264229704355e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.94264229704355e-05×40589641000000     		ar = 39284.6430077095m²