Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 17329 / 51448
↖ ↑ ↗
← S 71.059798°
W 84.808960°		 ← 198.27 m → S 71.059798°
W 84.803467°		 →
↑
198.27 m
↓
↑
198.27 m
↓
S 71.061581°
W 84.808960°		 ← 198.25 m →
39 308 m²		 S 71.061581°
W 84.803467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17329 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264427185058594 y=0.785041809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264427185058594 × 216)
    floor (0.264427185058594 × 65536)
    floor (17329.5)     		tx = 17329
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785041809082031 × 216)
    floor (0.785041809082031 × 65536)
    floor (51448.5)     		ty = 51448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17329 / 51448 ti = "16/17329/51448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17329/51448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17329 ÷ 216
    17329 ÷ 65536     		x = 0.264419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51448 ÷ 216
    51448 ÷ 65536     		y = 0.7850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264419555664062 × 2 - 1) × π
    -0.471160888671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48019559
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7909225698053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48019559} λ = -1.48019559}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7909225698053))-π/2
    2×atan(0.166806208286799)-π/2
    2×0.165284444566597-π/2
    0.330568889133193-1.57079632675     		φ = -1.24022744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48019559} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.808960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24022744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.059798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17329 KachelY 51448 -1.48019559 -1.24022744 -84.808960 -71.059798
    Oben rechts KachelX + 1 17330 KachelY 51448 -1.48009971 -1.24022744 -84.803467 -71.059798
    Unten links KachelX 17329 KachelY + 1 51449 -1.48019559 -1.24025856 -84.808960 -71.061581
    Unten rechts KachelX + 1 17330 KachelY + 1 51449 -1.48009971 -1.24025856 -84.803467 -71.061581
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24022744--1.24025856) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dl = 198.265520000326m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24022744--1.24025856) × R
    3.11200000000511e-05 × 6371000     		dr = 198.265520000326m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48019559--1.48009971) × cos(-1.24022744) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.32458116692711 × 6371000     		do = 198.270886197422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48019559--1.48009971) × cos(-1.24025856) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.324551731673756 × 6371000     		du = 198.252905629347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24022744)-sin(-1.24025856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32458116692711-0.324551731673756)×R²
    abs(-1.48009971--1.48019559)×2.94352533541931e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.94352533541931e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.94352533541931e-05×40589641000000     		ar = 39308.4978927079m²