Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17328 / 18095
↖ ↑ ↗
← S 18.469189°
E 10.371094°		 ← 1 158.72 m → S 18.469189°
E 10.382080°		 →
↑
1 158.63 m
↓
↑
1 158.63 m
↓
S 18.479609°
E 10.371094°		 ← 1 158.65 m →
1 342 484 m²		 S 18.479609°
E 10.382080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17328 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18095 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528823852539062 y=0.552230834960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528823852539062 × 215)
    floor (0.528823852539062 × 32768)
    floor (17328.5)     		tx = 17328
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552230834960938 × 215)
    floor (0.552230834960938 × 32768)
    floor (18095.5)     		ty = 18095
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17328 / 18095 ti = "15/17328/18095"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17328/18095.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17328 ÷ 215
    17328 ÷ 32768     		x = 0.52880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18095 ÷ 215
    18095 ÷ 32768     		y = 0.552215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52880859375 × 2 - 1) × π
    0.0576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18100973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552215576171875 × 2 - 1) × π
    -0.10443115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.328080140999664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18100973} λ = 0.18100973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.328080140999664))-π/2
    2×atan(0.720305291406014)-π/2
    2×0.624224085124453-π/2
    1.24844817024891-1.57079632675     		φ = -0.32234816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18100973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.371094°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32234816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.469189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17328 KachelY 18095 0.18100973 -0.32234816 10.371094 -18.469189
    Oben rechts KachelX + 1 17329 KachelY 18095 0.18120148 -0.32234816 10.382080 -18.469189
    Unten links KachelX 17328 KachelY + 1 18096 0.18100973 -0.32253002 10.371094 -18.479609
    Unten rechts KachelX + 1 17329 KachelY + 1 18096 0.18120148 -0.32253002 10.382080 -18.479609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32234816--0.32253002) × R
    0.000181859999999978 × 6371000     		dl = 1158.63005999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32234816--0.32253002) × R
    0.000181859999999978 × 6371000     		dr = 1158.63005999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18100973-0.18120148) × cos(-0.32234816) × R
    0.000191749999999991 × 0.94849414917406 × 6371000     		do = 1158.71768102633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18100973-0.18120148) × cos(-0.32253002) × R
    0.000191749999999991 × 0.948436521214896 × 6371000     		du = 1158.64728044952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32234816)-sin(-0.32253002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94849414917406-0.948436521214896)×R²
    abs(0.18120148-0.18100973)×5.7627959163975e-05×R²
    0.000191749999999991×5.7627959163975e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.7627959163975e-05×40589641000000     		ar = 1342484.35587818m²