Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17326 / 51446
↖ ↑ ↗
← S 71.056231°
W 84.825440°		 ← 198.31 m → S 71.056231°
W 84.819946°		 →
↑
198.33 m
↓
↑
198.33 m
↓
S 71.058015°
W 84.825440°		 ← 198.29 m →
39 328 m²		 S 71.058015°
W 84.819946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17326 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264381408691406 y=0.785011291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264381408691406 × 216)
    floor (0.264381408691406 × 65536)
    floor (17326.5)     		tx = 17326
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785011291503906 × 216)
    floor (0.785011291503906 × 65536)
    floor (51446.5)     		ty = 51446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17326 / 51446 ti = "16/17326/51446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17326/51446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17326 ÷ 216
    17326 ÷ 65536     		x = 0.264373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51446 ÷ 216
    51446 ÷ 65536     		y = 0.785003662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264373779296875 × 2 - 1) × π
    -0.47125244140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48048321
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785003662109375 × 2 - 1) × π
    -0.57000732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79073082220682
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48048321} λ = -1.48048321}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79073082220682))-π/2
    2×atan(0.166838196043339)-π/2
    2×0.165315566218543-π/2
    0.330631132437086-1.57079632675     		φ = -1.24016519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48048321} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.825440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24016519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.056231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17326 KachelY 51446 -1.48048321 -1.24016519 -84.825440 -71.056231
    Oben rechts KachelX + 1 17327 KachelY 51446 -1.48038733 -1.24016519 -84.819946 -71.056231
    Unten links KachelX 17326 KachelY + 1 51447 -1.48048321 -1.24019632 -84.825440 -71.058015
    Unten rechts KachelX + 1 17327 KachelY + 1 51447 -1.48038733 -1.24019632 -84.819946 -71.058015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24016519--1.24019632) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dl = 198.329229999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24016519--1.24019632) × R
    3.11299999999903e-05 × 6371000     		dr = 198.329229999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48048321--1.48038733) × cos(-1.24016519) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.32464004594914 × 6371000     		do = 198.306852535629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48048321--1.48038733) × cos(-1.24019632) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.324610601866122 × 6371000     		du = 198.288866573941m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24016519)-sin(-1.24019632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32464004594914-0.324610601866122)×R²
    abs(-1.48038733--1.48048321)×2.94440830179155e-05×R²
    9.58800000001592e-05×2.94440830179155e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×2.94440830179155e-05×40589641000000     		ar = 39328.2617993801m²