Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17324 / 18086
↖ ↑ ↗
← S 18.375379°
E 10.327148°		 ← 1 159.35 m → S 18.375379°
E 10.338135°		 →
↑
1 159.27 m
↓
↑
1 159.27 m
↓
S 18.385805°
E 10.327148°		 ← 1 159.28 m →
1 343 955 m²		 S 18.385805°
E 10.338135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17324 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18086 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528701782226562 y=0.551956176757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528701782226562 × 215)
    floor (0.528701782226562 × 32768)
    floor (17324.5)     		tx = 17324
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551956176757812 × 215)
    floor (0.551956176757812 × 32768)
    floor (18086.5)     		ty = 18086
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17324 / 18086 ti = "15/17324/18086"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17324/18086.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17324 ÷ 215
    17324 ÷ 32768     		x = 0.5286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18086 ÷ 215
    18086 ÷ 32768     		y = 0.55194091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    0.057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18024274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55194091796875 × 2 - 1) × π
    -0.1038818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.326354412613342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18024274} λ = 0.18024274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326354412613342))-π/2
    2×atan(0.721549415895921)-π/2
    2×0.62504273015538-π/2
    1.25008546031076-1.57079632675     		φ = -0.32071087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18024274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32071087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.375379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17324 KachelY 18086 0.18024274 -0.32071087 10.327148 -18.375379
    Oben rechts KachelX + 1 17325 KachelY 18086 0.18043449 -0.32071087 10.338135 -18.375379
    Unten links KachelX 17324 KachelY + 1 18087 0.18024274 -0.32089283 10.327148 -18.385805
    Unten rechts KachelX + 1 17325 KachelY + 1 18087 0.18043449 -0.32089283 10.338135 -18.385805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32071087--0.32089283) × R
    0.000181960000000037 × 6371000     		dl = 1159.26716000023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32071087--0.32089283) × R
    0.000181960000000037 × 6371000     		dr = 1159.26716000023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18024274-0.18043449) × cos(-0.32071087) × R
    0.000191749999999991 × 0.94901156232885 × 6371000     		do = 1159.34977324469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18024274-0.18043449) × cos(-0.32089283) × R
    0.000191749999999991 × 0.948954185318137 × 6371000     		du = 1159.27967923635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32071087)-sin(-0.32089283))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94901156232885-0.948954185318137)×R²
    abs(0.18043449-0.18024274)×5.73770107131777e-05×R²
    0.000191749999999991×5.73770107131777e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.73770107131777e-05×40589641000000     		ar = 1343955.49394366m²