Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17322 / 51476
↖ ↑ ↗
← S 71.109658°
W 84.847412°		 ← 197.75 m → S 71.109658°
W 84.841919°		 →
↑
197.76 m
↓
↑
197.76 m
↓
S 71.111436°
W 84.847412°		 ← 197.73 m →
39 104 m²		 S 71.111436°
W 84.841919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17322 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264320373535156 y=0.785469055175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264320373535156 × 216)
    floor (0.264320373535156 × 65536)
    floor (17322.5)     		tx = 17322
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785469055175781 × 216)
    floor (0.785469055175781 × 65536)
    floor (51476.5)     		ty = 51476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17322 / 51476 ti = "16/17322/51476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17322/51476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17322 ÷ 216
    17322 ÷ 65536     		x = 0.264312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51476 ÷ 216
    51476 ÷ 65536     		y = 0.78546142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.47137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48086670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78546142578125 × 2 - 1) × π
    -0.5709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79360703618402
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48086670} λ = -1.48086670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79360703618402))-π/2
    2×atan(0.166359023124206)-π/2
    2×0.164849333637739-π/2
    0.329698667275477-1.57079632675     		φ = -1.24109766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48086670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.847412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24109766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.109658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17322 KachelY 51476 -1.48086670 -1.24109766 -84.847412 -71.109658
    Oben rechts KachelX + 1 17323 KachelY 51476 -1.48077083 -1.24109766 -84.841919 -71.109658
    Unten links KachelX 17322 KachelY + 1 51477 -1.48086670 -1.24112870 -84.847412 -71.111436
    Unten rechts KachelX + 1 17323 KachelY + 1 51477 -1.48077083 -1.24112870 -84.841919 -71.111436
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24109766--1.24112870) × R
    3.10399999998712e-05 × 6371000     		dl = 197.755839999179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24109766--1.24112870) × R
    3.10399999998712e-05 × 6371000     		dr = 197.755839999179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48086670--1.48077083) × cos(-1.24109766) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323757939715815 × 6371000     		do = 197.747390018812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48086670--1.48077083) × cos(-1.24112870) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.323728571375944 × 6371000     		du = 197.729452195994m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24109766)-sin(-1.24112870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323757939715815-0.323728571375944)×R²
    abs(-1.48077083--1.48086670)×2.93683398708833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.93683398708833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.93683398708833e-05×40589641000000     		ar = 39103.9275694394m²