Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17321 / 18161
↖ ↑ ↗
← S 19.155547°
E 10.294189°		 ← 1 154 m → S 19.155547°
E 10.305176°		 →
↑
1 153.92 m
↓
↑
1 153.92 m
↓
S 19.165924°
E 10.294189°		 ← 1 153.93 m →
1 331 575 m²		 S 19.165924°
E 10.305176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18161 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528610229492188 y=0.554244995117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528610229492188 × 215)
    floor (0.528610229492188 × 32768)
    floor (17321.5)     		tx = 17321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.554244995117188 × 215)
    floor (0.554244995117188 × 32768)
    floor (18161.5)     		ty = 18161
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17321 / 18161 ti = "15/17321/18161"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17321/18161.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17321 ÷ 215
    17321 ÷ 32768     		x = 0.528594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18161 ÷ 215
    18161 ÷ 32768     		y = 0.554229736328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.528594970703125 × 2 - 1) × π
    0.05718994140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17966750
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.554229736328125 × 2 - 1) × π
    -0.10845947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.340735482499359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17966750} λ = 0.17966750}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.340735482499359))-π/2
    2×atan(0.711247020610032)-π/2
    2×0.618234484731529-π/2
    1.23646896946306-1.57079632675     		φ = -0.33432736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17966750} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.294189°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33432736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.155547°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17321 KachelY 18161 0.17966750 -0.33432736 10.294189 -19.155547
    Oben rechts KachelX + 1 17322 KachelY 18161 0.17985925 -0.33432736 10.305176 -19.155547
    Unten links KachelX 17321 KachelY + 1 18162 0.17966750 -0.33450848 10.294189 -19.165924
    Unten rechts KachelX + 1 17322 KachelY + 1 18162 0.17985925 -0.33450848 10.305176 -19.165924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33432736--0.33450848) × R
    0.000181119999999979 × 6371000     		dl = 1153.91551999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33432736--0.33450848) × R
    0.000181119999999979 × 6371000     		dr = 1153.91551999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17966750-0.17985925) × cos(-0.33432736) × R
    0.000191749999999991 × 0.944631239263741 × 6371000     		do = 1153.99859866067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17966750-0.17985925) × cos(-0.33450848) × R
    0.000191749999999991 × 0.94457179216757 × 6371000     		du = 1153.92597575469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33432736)-sin(-0.33450848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944631239263741-0.94457179216757)×R²
    abs(0.17985925-0.17966750)×5.9447096171561e-05×R²
    0.000191749999999991×5.9447096171561e-05×6371000²
    0.000191749999999991×5.9447096171561e-05×40589641000000     		ar = 1331574.99634388m²