Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1732 / 1341
↖ ↑ ↗
← N 52.643064°
W 27.773438°		 ← 5 930.04 m → N 52.643064°
W 27.685547°		 →
↑
5 933.69 m
↓
↑
5 933.69 m
↓
N 52.589701°
W 27.773438°		 ← 5 937.27 m →
35 208 500 m²		 N 52.589701°
W 27.685547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4229736328125 y=0.3275146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4229736328125 × 212)
    floor (0.4229736328125 × 4096)
    floor (1732.5)     		tx = 1732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3275146484375 × 212)
    floor (0.3275146484375 × 4096)
    floor (1341.5)     		ty = 1341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1732 / 1341 ti = "12/1732/1341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1732/1341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1732 ÷ 212
    1732 ÷ 4096     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1341 ÷ 212
    1341 ÷ 4096     		y = 0.327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.327392578125 × 2 - 1) × π
    0.34521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.08452441700415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.08452441700415))-π/2
    2×atan(2.95803269411325)-π/2
    2×1.24479555604101-π/2
    2.48959111208203-1.57079632675     		φ = 0.91879479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91879479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.643064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1732 KachelY 1341 -0.48473793 0.91879479 -27.773438 52.643064
    Oben rechts KachelX + 1 1733 KachelY 1341 -0.48320395 0.91879479 -27.685547 52.643064
    Unten links KachelX 1732 KachelY + 1 1342 -0.48473793 0.91786343 -27.773438 52.589701
    Unten rechts KachelX + 1 1733 KachelY + 1 1342 -0.48320395 0.91786343 -27.685547 52.589701
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91879479-0.91786343) × R
    0.000931359999999937 × 6371000     		dl = 5933.6945599996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91879479-0.91786343) × R
    0.000931359999999937 × 6371000     		dr = 5933.6945599996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48320395) × cos(0.91879479) × R
    0.00153397999999999 × 0.606778583453547 × 6371000     		do = 5930.03895312289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48320395) × cos(0.91786343) × R
    0.00153397999999999 × 0.607518631140303 × 6371000     		du = 5937.27142923412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91879479)-sin(0.91786343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.606778583453547-0.607518631140303)×R²
    abs(-0.48320395--0.48473793)×0.000740047686756506×R²
    0.00153397999999999×0.000740047686756506×6371000²
    0.00153397999999999×0.000740047686756506×40589641000000     		ar = 35208500.073896m²