Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17316 / 18082
↖ ↑ ↗
← S 18.333670°
E 10.239258°		 ← 1 159.63 m → S 18.333670°
E 10.250244°		 →
↑
1 159.52 m
↓
↑
1 159.52 m
↓
S 18.344098°
E 10.239258°		 ← 1 159.56 m →
1 344 576 m²		 S 18.344098°
E 10.250244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17316 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528457641601562 y=0.551834106445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528457641601562 × 215)
    floor (0.528457641601562 × 32768)
    floor (17316.5)     		tx = 17316
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551834106445312 × 215)
    floor (0.551834106445312 × 32768)
    floor (18082.5)     		ty = 18082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17316 / 18082 ti = "15/17316/18082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17316/18082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17316 ÷ 215
    17316 ÷ 32768     		x = 0.5284423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18082 ÷ 215
    18082 ÷ 32768     		y = 0.55181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5284423828125 × 2 - 1) × π
    0.056884765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17870876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.1036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.325587422219421
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17870876} λ = 0.17870876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.325587422219421))-π/2
    2×atan(0.722103049655399)-π/2
    2×0.625406715501369-π/2
    1.25081343100274-1.57079632675     		φ = -0.31998290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17870876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.239258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31998290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.333670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17316 KachelY 18082 0.17870876 -0.31998290 10.239258 -18.333670
    Oben rechts KachelX + 1 17317 KachelY 18082 0.17890051 -0.31998290 10.250244 -18.333670
    Unten links KachelX 17316 KachelY + 1 18083 0.17870876 -0.32016490 10.239258 -18.344098
    Unten rechts KachelX + 1 17317 KachelY + 1 18083 0.17890051 -0.32016490 10.250244 -18.344098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31998290--0.32016490) × R
    0.00018199999999996 × 6371000     		dl = 1159.52199999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31998290--0.32016490) × R
    0.00018199999999996 × 6371000     		dr = 1159.52199999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17870876-0.17890051) × cos(-0.31998290) × R
    0.000191750000000018 × 0.949240797031844 × 6371000     		do = 1159.62981535549m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17870876-0.17890051) × cos(-0.32016490) × R
    0.000191750000000018 × 0.949183533151021 × 6371000     		du = 1159.55985955107m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31998290)-sin(-0.32016490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.949240797031844-0.949183533151021)×R²
    abs(0.17890051-0.17870876)×5.72638808232773e-05×R²
    0.000191750000000018×5.72638808232773e-05×6371000²
    0.000191750000000018×5.72638808232773e-05×40589641000000     		ar = 1344575.72882438m²