Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 1731 / 1333
↖ ↑ ↗
← N 53.067627°
W 27.861328°		 ← 5 872.31 m → N 53.067627°
W 27.773438°		 →
↑
5 875.91 m
↓
↑
5 875.91 m
↓
N 53.014783°
W 27.861328°		 ← 5 879.52 m →
34 526 347 m²		 N 53.014783°
W 27.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4227294921875 y=0.3255615234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4227294921875 × 212)
    floor (0.4227294921875 × 4096)
    floor (1731.5)     		tx = 1731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3255615234375 × 212)
    floor (0.3255615234375 × 4096)
    floor (1333.5)     		ty = 1333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1731 / 1333 ti = "12/1731/1333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1731/1333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1731 ÷ 212
    1731 ÷ 4096     		x = 0.422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1333 ÷ 212
    1333 ÷ 4096     		y = 0.325439453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.422607421875 × 2 - 1) × π
    -0.15478515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.48627191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325439453125 × 2 - 1) × π
    0.34912109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09679626330688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48627191} λ = -0.48627191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09679626330688))-π/2
    2×atan(2.99455686784527)-π/2
    2×1.24850056895239-π/2
    2.49700113790478-1.57079632675     		φ = 0.92620481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48627191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.861328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92620481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.067627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1731 KachelY 1333 -0.48627191 0.92620481 -27.861328 53.067627
    Oben rechts KachelX + 1 1732 KachelY 1333 -0.48473793 0.92620481 -27.773438 53.067627
    Unten links KachelX 1731 KachelY + 1 1334 -0.48627191 0.92528252 -27.861328 53.014783
    Unten rechts KachelX + 1 1732 KachelY + 1 1334 -0.48473793 0.92528252 -27.773438 53.014783
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92620481-0.92528252) × R
    0.000922289999999992 × 6371000     		dl = 5875.90958999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92620481-0.92528252) × R
    0.000922289999999992 × 6371000     		dr = 5875.90958999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48627191--0.48473793) × cos(0.92620481) × R
    0.00153397999999999 × 0.600871969531578 × 6371000     		do = 5872.31369453024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48627191--0.48473793) × cos(0.92528252) × R
    0.00153397999999999 × 0.601608942028614 × 6371000     		du = 5879.5161168536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92620481)-sin(0.92528252))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600871969531578-0.601608942028614)×R²
    abs(-0.48473793--0.48627191)×0.000736972497036192×R²
    0.00153397999999999×0.000736972497036192×6371000²
    0.00153397999999999×0.000736972497036192×40589641000000     		ar = 34526347.1917787m²